2007 Fiscal Year Annual Research Report
準周期タイリングに見出されるプレフラクタル構造の解析
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18540126
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| Research Institution | Kochi University |
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Principal Investigator |
小松 和志 Kochi University, 理学部, 准教授 (00253336)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
野間口 謙太郎 高知大学, 理学部, 教授 (60124806)
中野 史彦 高知大学, 理学部, 准教授 (10291246)
秋山 茂樹 新潟大学, 自然科学系, 准教授 (60212445)
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| Keywords | タイリング / 準周期性 / 射影法 / フラクタル / 自己相似性 / 力学系 / 回転列 / 準結晶 |
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| Research Abstract |
研究実施計画の役割分担に従って、下記の研究成果を得た。
1.フィボナッチ列は1次元の準周期タイリングである。このタイリングは射影法と呼ばれる構成法によっても得られる。構成を制御するWindowと呼ばれる有界集合は構成されるタイリングの局所配置に対応する分割をもつ。区間交換力学系やCircle mapによる回転列を用いてこの分割に関する基本的な性質を調べ、フィボナッチ列の自己相似性に対応するフラクタル構造をもつことを示した。
2.ユークリッド平面の場合と同様に、双曲平面タイリングにおいて考えられる非周期性の4つの定義の関係を完全に明らかにした。結果の証明の多くの部分はフックス群に関して知られている結果を用いて示されるが、残りの部分はタイリングに固有な技法を用いて示された。さらに、環状拡大という構成法により非周期双曲平面タイリングを例を構成した。
3.分子の立体構造を調べるために、n個の環状炭化水素分子の数理モデルを与え、その配置空間のトポロジーを研究した。数理モデルとして満たすべき条件を仮定すると、5以上のnに対して、n個の環状炭化水素分子の立体構造から成る配置空間はn-4次元の球面と微分同型であることが示される。この結果はnが5もしくは6のときの現実のn個の環状炭化水素分子の立体構造から成る配置空間の形がそれぞれ円周、2次元球面として現れることに説明を与えている。
4.アンダーソンモデルの固有値と固有関数の局在中心のなす点過程を考え、無限体積極限においてこれがポアソン点過程に収束することを示した。
5.一次元トーラスの任意の分割に対応する無理回転のコード化を調べた。そのようにして生じる数列は再帰再生構造をもち、その再生過程が停留的になるのは分割パラメータと初期値、回転数のすべてが同じ実二次体に属するときに限ることを証明した
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