2006 Fiscal Year Annual Research Report
周期的な点相互作用に従う1次元シュレディンガー作用素のスペクトルについて
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18540190
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
吉冨 和志 首都大学東京, 大学院理工学研究科, 准教授 (40304729)
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| Keywords | 点相互作用 / 周期ポテンシャル / シュレディンガー作用素 / スペクトラルギャップ / 漸近挙動 |
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| Research Abstract |
'周期的なδ'型点相互作用に従う1次元シュレディンガー作用素のスペクトラルギャップについて考察を行った.κ∈(0,2π)とβ,γ∈R-[0]をパラメータとし,
H=-d^2/dx^2+Σ_<1∈Z>(βδ'(x-κ-2πl)+γδ'(x-2πl))in L^2(R)
とおく.ただし,δは原点におけるディラックのデルタ関数を表し,δ'はその微分を表す.ポテンシャルの周期性により,Hのスペクトルσ(H)はバンド構造を持つ.σ(H)の第jギャップをG_jで表し,その長さを|G_j|で表す.τ=2π-κとし,κ_0=τ/κとおく.本年度の研究では,|G_j|の漸近的性質と,κ_0の数論的性質を結びつける結果を得た.得られた結果の内で最も典型的なものについて述べる.κ_0は無理数であると仮定する.κ_0のマルコフ定数をM(κ_0)で表す:
M(κ_0)=sup{m>0;q|qκ_0-p|<1/mをみたす(p,q)∈Z×Nが無限個存在する}.
M(κ_0)の性質は,κ_0の数論的性質と密接に関係することが良く知られている.得られた結果は次の定理である.
定理.β+γ=0ならば,
lim inf_<j→∞>|G_j|=2π^2(κτM(κ_0))^<-1>
が成り立っ.
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