2007 Fiscal Year Annual Research Report
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18540207
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
井口 達雄 Keio University, 理工学部, 准教授 (20294879)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
隠居 良行 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (80243913)
石川 史郎 慶應義塾大学, 理工学部, 准教授 (10051913)
高山 正宏 慶應義塾大学, 理工学部, 助教 (90338252)
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| Keywords | 水面波 / 水の波 / 浅水波方程式 / 浅水波近似 / 長波近似 / KdV方程式 / Benjamin-Ono方程式 / Dirichlet-Neumann写像 |
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| Research Abstract |
単調な孤立波解を記述するKdV方程式、振動する孤立波解を記述するKawahara方程式、そして崩れる波を記述する浅水波方程式は、水面波の方程式の長波近似あるいは浅水波近似として形式的に導出される。水面波の方程式を無次元化するとδおよびεという二つの無次元パラメーターが現れる。これらは、それぞれ水深と波長の比、および振幅と水深の比で定まる無次元量である。長波近似あるいは浅水波近似はδ→0という極限に対応している。より詳しくはε=δ^2→0がKdV近似に、ε=δ^4→0がKawahara近似に、そしてε=1かつδ→0が浅水波近似に対応する。研究代表者のこれまでの研究により、KdV近似およびKawahara近似、さらには浅水波近似の数学的に厳密な正当性が与えられ、水面波の方程式の解の比較的長時間における振る舞いが上記の近似方程式の解で近似出来ることが証明されていた。
これらの結果を踏まえ、平成19年度は水面の上方にある流体の運動も考慮に入れた2層流体に対する長波近似を数学的に解析し、代表的な分散型偏微分方程式の一つであるBenjamin-Ono方程式の数学的に厳密な正当性を与えた。より正確には、ε=δ→0という極限において、水面波の2層問題の解がオーダーε^<-1>という比較的長い時間スケールで存在し、その解がBenjamin-Ono方程式の解によりオーダーεという精度で近似されることを証明した。2層水面波の初期値問題の可解性は既に研究代表者によって得られているので、証明の要点になったのはオーダーε^<-1>という比較的長い時間スケールでの解のアプリオリ評価を得ることであった。エネルギー法とラプラス方程式に対するDirichlet-Neumann写像の漸近展開を組み合わせることにより、そのアプリオリ評価を得ることに成功した。
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