2008 Fiscal Year Annual Research Report
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18540207
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
井口 達雄 Keio University, 理工学部, 准教授 (20294879)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石川 史郎 慶應義塾大学, 理工学部, 准教授 (10051913)
高山 正宏 慶應義塾大学, 理工学部, 助教 (90338252)
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| Keywords | 水面波 / 水の波 / 浅水波方程式 / 浅水波近似 / 長波近似 / Dirichlet-Neumann写像 / 国際研究者交流 / アメリカ |
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| Research Abstract |
単調な孤立波解を記述するKdV方程式、振動する孤立波解を記述するKawahara方程式、そして崩れる波を記述する浅水波方程式は、水面波の方程式の長波近似あるいは浅水波近似として形式的に導出される。水面波の方程式を無次元化するとδおよびεという二つの無次元パラメーターが現れる。これらは、それぞれ水深と波長の比、および振幅と水深の比で定まる無次元量である。浅水波近似は、ε=1かつδ→0が浅水波近似に対応する。
平成18年度の研究では、適当な微分同型写像を用いて複雑な領域上の問題を簡単な領域上の問題に変換し、Greenの公式を用いるだけでLaplace方程式に対するDirichlet-Neumann(DN)写像の当該研究目的に必要な性質を導き出した。そして先行結果における計算よりもはるかに初等的で簡単な計算により、解のδに関する一様な評価を得た。その結果として、これまで未解決であったSobolev空間における水の波の浅水波近似の数学的に厳密な正当性を与えることに成功した。
しかし、そこでは初期速度ポテンシャル自身が適当な次数のSobolev空間に属することが仮定されていた。これより特に、初期速度ポテンシャルは二乗可積分でなければならない。これは、初期速度場がSobolev空間に属するという仮定よりも強い条件であり、物理的には取り除きたい仮定であった。本年度は、DN写像の性質をさらに詳しく調べることにより、初期速度ポテンシャルの二乗可積分性の仮定を外すことに成功し、その結果として、より望ましい条件下で水の波の浅水波近似の数学的に厳密な正当性を与えることに成功した。
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