2006 Fiscal Year Annual Research Report
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18540220
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Tokai University |
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Principal Investigator |
山口 勝 東海大学, 理学部, 教授 (10056252)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
松山 登喜夫 東海大学, 理学部, 教授 (70249712)
田中 實 東海大学, 理学部, 教授 (10112773)
楢崎 隆 東海大学, 理学部, 教授 (70119692)
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| Keywords | suspended string equation / 周期解 / 初期値境界値問題 / 大域解 / 強解 / 古典解 |
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| Research Abstract |
今年度は、非線形の吊り下げられた糸(suspended string)の方程式の解の挙動(behavior)について研究し次の諸結果を得た。以下、suspended stringをSSと略称する。
1.時間について周期的な非線形外力と線形の減衰項をもつSS方程式の境界値問題を考察し時間周期解が存在することを示した。非線形外力が、Lipschitz条件を満たす場合、局所的に線形の増大度をもつ場合、局所的に高次の多項式の増大度をもつ場合など様々な形の非線形外力について周期解をもつ条件を考察した。解の正則性についても研究された。証明には縮小写像の原理、Schauderの不動店定理、不動点延長定理が用いられた。
2.非線形のSS方程式の初期値境界値問題を考察し、方程式が非単調な(nonmonotone)非線形外力をもつ場合に、初期値に関するエネルギー有界性という条件の下で、この問題が時間に関して大域的な(global)強解(strong solution)をもつことを証明した。この解はポテンシャルの井戸(Potential Well)の中にとどまる。このことがら、この強解は時間について大域的に有界になることが導かれる。これはSattingerによる非線形波動方程式に対するポテンシャルの井戸についての考え方を、Suspended String方程式に適用し、更にGalerkinn近似法によって構成された近似解が先ずポテンシャルの井戸に属することを証明し、Compactness法を適用して近似解の極限として解の存在を証明することによって得られる。
3.1.の継続研究として、非線形のSS方程式の初期値境界値問題を考察し、方程式が単調な(monotone)非線形外力を持つ場合に、初期値の微分可能性の仮定の下に初期値の大きさに関する制限なしに、この問題が時間について大域的な古典解(classical solution)をもつことを証明した。証明は、先ず、2.で構成された近似解の時間に関する高次導関数についてのエネルギー不等式を導き、Compactness法によってこれらの近似解の高次導関数がすべて解の高次導関数に収束することを示す。空間変数についての微分可能性を得るために楕円型方程式についてのNirenberg型正則性定理をSS Operatorについても証明しこれを適用する。
これらより古典解を得る。
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