2007 Fiscal Year Annual Research Report
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18654013
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
松本 堯生 Hiroshima University, 大学院・理学研究科, 教授 (50025467)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
鎌田 聖一 広島大学, 大学院・理学研究科, 教授 (60254380)
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| Keywords | 2次元結び目 / 解け予想 / 2次元ブレイド / チャート表示 / チャート表示の変形 / マルコフ型定理 / カスプ / トポロジー |
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| Research Abstract |
結び目が解けるための必要十分条件は、2次元滑らか結び目以外に関しては既に良く知られている。本研究は2次元滑らか結び目に対しても同じ条件、つまり補空間のホモトピー型が自明な場合と同じという条件が、結び目が解けるための必要十分条件であることを示そうというものである。
既に以前からの研究によって、自明な結び目との間に交点を許した2次元結び目の1-助変数族を構成することができ、それを2次元結び目の1-助変数族に変換するマルコフ型定理は、研究分担者鎌田の手法を少し拡張することで証明できる。
一方、こうしてできた特異2次元ブレイドの1-助変数族をチャート表示することも素直に安定化とその逆を許して変形すればよいことも昨年度から判明していた。
今年度は、交点が最高次の自明線分の内部にあるようにさらなる安定化を図った後、その自明線分をカスプの直前まで下げられることを確認した。このことによって、交点の数は1つで、しかもチャート表示において交点以外の頂点は固定して交点だけが上から下へ他の頂点の周りを回りながら下がりしかも最後は再びカスプによって交点が解消するという状況のみを調べればよいことが分かる。
最後の状況を松本幸夫-鎌田の方法によって、平面上のグラフ表示に直し、最後はカスプによって交点が再び解消するという条件をブレイド群およびその生成元から生成される自由群の語によって表現する。そして、各ステップを取り除く代わりにそこまで交点のトレースが並行して戻るというテクニックを駆使することによって、カスプで交点を解消した結果が自明なブレイドになることが分かるという筋書きである。
今年度の残りと来年度はこの証明を書くことだけに専念したい。
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