| Research Abstract |
多様体から多様体対への可微分写像に対して,有限型不変量を定式化することが当初の目的であった.その目的のため,可微分写像の,部分多様体に沿った特異点の分類,部分多様体の逆像に沿った写像芽の分類,それらの隣接関係の調査,そして有限型不変量の定式化,最後に既存の不変量との関係の調査,といった計画で研究を進めてゆく予定であった.今年度は,そうした写像芽の分類空間が構成できれば,有限型不変量の研究の大きな助けになると判断し,そうした分類空間について考察した.その結果,分類の基準を当初予定していた右左同値ではなく,特異点理論で重要性が指摘されているK同値に設定すると,部分多様体の逆像に沿った写像芽の分類空間が自然に構成でき,そのホモトピー論的構造もある程度わかりやすいものになることが,既存の多重写像芽の理論の類似により明らかになった.さらにそうした分類空間のコホモロジー環を調べることにより,1点の逆像に沿った写像芽によって特徴づけられる集合が表すホモロジー類が,特性コホモロジー類により普遍的に表現されることも同時にわかった.特に,向き付けられた4次元多様体から3次元多様体への安定写像に着目すると,1点の逆像に沿った写像芽の分類が実行でき,ある種の写像芽が,第1ポントリャーギン類により特徴づけられることがわかった.したがって4次元多様体の符号数定理が得られることもわかり,さらに一般の余次元-1の写像に対しても類似の公式が成り立つことが一般論により明らかにされた.さらにこうした理論が写像の同境理論と密接に関連することも明らかにされた.今後はこうした結果を,分類空間を駆使して,部分多様体が必ずしも1点とは限らない場合に押し進め,目的達成のために研究を続けてゆく計画である.
|
