L関数の特殊値とK群の位数の(非)可除性に関する研究

2006 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 18740004
• Research Institution: University of Toyama
• Principal Investigator: 木村 巌 富山大学, 理工学研究部, 講師 (10313587)
• Keywords: 代数学 / 数論 / L関数 / コホモロジー群の位数 / K群の位数 / Cohen-Lenstra Heuristics

Research Abstract

2次体のzeta関数、L関数の負の整数点における特殊値は、或るetale cohomology群、K群の位数により記述される.あらかじめ奇素数pを固定し、2次体を動かしたときのこれらの値の(非)可除性を考察した.今年度は特に、実2次体全体の中で、(非)可除性を満たすものがどれぐらいの密度を持つかについて、理論的考察ならびに数値実験を行った.
実2次体のL関数の負の整数点における特殊値と密接に関係する、Cohenの一般化類数を係数にする半整数重みの保型形式(の定数倍)の、素数pに関する合同の理論を用いて、次のようなことを示すことが出来た:偶数nを固定し、素数p>3で、(p-1)/2がnを割らないものをとる.実2次体Q(√<D>)で、対応するDirichlet指標に関するn番目の一般化ベルヌイ数のp進絶対値が1であるものが存在すると仮定する.すると、十分大きな正の実数Xに対して、X以下の正の基本判別式dで、実2次体Q(√<d>)に対応するDirichlet指標に関するn番目の一般化ベルヌイ数の分子がpで割り切れないものの個数が>>√<X>/log(X)である.
最初に述べた、L関数の負の整数点での値と、cohomology群、代数的K群の位数との関係から、それらの位数の非可除性に関する結果が直ちに導かれる.
上記の結果について、京都大学数理解析研究所における研究集会(2006年12月)等にて報告し、また、論文にまとめて投稿中である.虚2次体についても同様の手法が適用可能であり、引き続き論文にまとめる予定である.
分岐の制限されたp拡大へ、pでの非可除性がどのように遺伝するか、また、K群などに位数pを持つ元の構成を試み、可除性についての考察を行うことについては、次年度のテーマとする.