| Research Abstract |
前年度の研究において得られたq-超幾何関数のFibonacci analogueである解析関数θ(x, a, g)の特殊値の代数的独立性に関する結果を精密化し, 相異なる複数の代数点における値が代数的独立となる必要十分条件を記述することができた。その結果, そのような必要十分条件は2個の代数点間の同値関係であり, 更に, この同値関係による代数点の同値類は乗法に関して巡回群を成すことが分かった。これは,代数点(x, a, q)の集合のθによる像を代数的従属性による同値類に分割したとき, 各同値類の逆像がどのような構造を持っているかを明らかにするものである。また, θ(x, a, q)を特殊化したθ(a, a, q)は明示的な連分数表示をもつが, これはp進数体Q_p上の整数論において極めて重要である。例えば, p進L関数の特殊値が明示的な連分数表示をもつことがStieltjesにより示されているが, その応用例として次のものが知られている。Calegariはある種のp進保型形式のoverconvergenceを用いてp進ゼータ関数の特殊値の無理性を証明したが, Beukersはその別証明をStieltjesの連分数表示から導かれるPade近似と呼ばれる解析数論における強力な道具を構成することにより与えた。このようにp進数体上の関数の特殊値について無理性, 超越性, 代数的独立性等の数論的性質を研究する場合, 特殊値が明示的な連分数表示を有することが重要である。その点からみて本研究の今年度の成果は, 明示的な連分数表示をもつ特殊化を含む解析関数θ(x, a, q)の値が代数的独立となる必要十分条件を, Q_pの諸性質を用いて証明されたMahler関数の理論を用いて導いたという点で, 本研究の目的を達したものと言える。
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