2006 Fiscal Year Annual Research Report
グレブナー基底による不変式に纏わるイデアル及び環の解析とその情報科学への応用
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18740018
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| Research Institution | Rikkyo University |
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Principal Investigator |
大杉 英史 立教大学, 理学部, 助教授 (80350289)
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| Keywords | グレブナー基底 / 不変式 / 誤り訂正符号 |
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| Research Abstract |
グレブナー基底の理論を活用して,有限群の不変式に纏わるイデアルや,対称性の高い生成系を持つイデアルなどを解析し,不変式環の構造の解明や,符号理論などの情報科学への応用を目的として研究を行った。当初の具体的な目標は
1.ヒルベルトイデアルのグレブナー基底
2.不変式環の生成系
3.符号理論への応用
の3点であった。
本年度の研究では,特に3に注目した。Salaは巡回符号の最小距離計算に,対称性の高い元を生成系として持つイデアルのグレブナー基底を活用する手法を発明した。さらにその計算を高速化するため,対称群のヒルベルトイデアルのグレブナー基底を活用している。研究では,Salaの方程式に付随するイデアルについて,様々な単項式順序についてグレブナー基底を計算した。その結果,Salaの論文に記載されているグレブナー基底と比較してかなり簡明なグレブナー基底を得た。来年度はこれを踏まえて一般的な結果を得ることを目指す。また,青木-竹村は,分割表の解析に関連するトーリックイデアルについて研究する際,対応する配置,生成形に高い対称性があることに着目している。研究では,豊かな対称性を持っ配置として,Segre-Vbronese型配置について研究した。その結果,当該配置について飛躍的かつ自然な一般化を得た。すわなち,もともとは,「変数をブロックに分け,ブロックごとにVbronese型」という定義であったが,特にブロック間に重複があっても良いことが判明した。これによって適用範囲が格段に広がっただけでなく,記述も非常に簡明になった。
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