2006 Fiscal Year Annual Research Report
KdV方程式に関連する方程式の初期値問題の可解性と解の性質
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18740068
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
津川 光太郎 名古屋大学, 大学院多元数理科学研究科, 助教授 (70402451)
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| Keywords | 関数方程式論 / 非線形 / KdV方程式 / 初期値問題 |
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| Research Abstract |
KdV方程式に滑らかさの低い外力項が付いた場合の可解性について研究した.これまでの結果では,外力項がL^2より滑らかな場合にしか,時間大域的可解性が得られていなかった.しかし,底面が滑らかでない条件下での浅水波など,いくつかの物理モデルにおいては,より特異性が強い外力項を扱う必要がある.そこで,外力項の低周波成分による影響と高周波成分による影響の相互作用を精密に評価することによって,H^<-3/2>という非常に滑らかさの低いクラスの外力項に対して時間大域的可解性を示す事に成功した.時間局所可解性については,Bourgainのフーリエ制限ノルムを応用することによって,H^<-3>というさらに広いクラスでの可解性を示した.
底の浅い水の表面波などKdV方程式と同様の条件下で,地球の自転などの系の回転による影響を考慮した方程式であるOstrovsky方程式について研究した.既存の結果では,KdV方程式よりも強い仮定の下でしか可解性が示されていなかったが,これを拡張しKdV方程式とほぼ同条件下で示すことに成功した.この結果により,斉次ソボレフノルムが可解性に果たす役割もより明確になった.また,物理的考察から,回転の影響による変数を零に極限を取るとOstrovsky方程式の解はKdV方程式の解に収束すると予想されるが,既存の結果では,強い仮定の下で部分的な結果しか得られていなかった.私は,上記の可解性の結果から得られたより精密な評価式を応用することによって,L^2という自然な空間において収束性を示す事に成功した.
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