2018 Fiscal Year Annual Research Report
Geometric, Combinatorial, and Representation theoretic study of semi-infinite flag manifolds
| Project/Area Number |
18F18014
|
|---|
| Research Institution | Kyoto University |
|---|
Principal Investigator |
加藤 周 京都大学, 理学研究科, 准教授 (40456760)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
MAKEDONSKYI IEVGEN 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 外国人特別研究員
|
|---|
| Project Period (FY) |
2018-04-25 – 2020-03-31
|
| Keywords | カレント代数 / 半無限旗多様体 / 非対称Macdonald多項式 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
半無限旗多様体上の直線束に関してこれまでの研究で非対称Whittaker系と呼ばれる差分方程式系の解を与えること、ならびに直線束を適切に捻ることによりノルムで割った非対称 Macdonald多項式の$t = \infty$という通常あまり考えられていない特殊化の幾何学的実現が得られることが分かっていた。
この結果の拡張として概ねFeigin- Frenkelの意味での半無限旗多様体(が存在すれば)その上の捻り付き直線束の大域切断として(ノルムで割らない)非対称Macdonald多項式自身が出現することなどもEvgeny Feigin氏、申請者、および外国人特別研究員であるIevgen Makedonskyi氏本人の共同研究により昨年度までにすでに分かっていた。今年度はそのことをさらに精密化することによって非対称Macdonald多項式の(特殊化の)直交性が対応する適切な圏における二種類の加群たちの間のExtが消えているという事実により解釈されることを確立した。これは非対称Macdonald多項式そのもの自身は(現状では)正整数値のローラン多項式として解釈する方法が知られていないが、適当に特殊化すると正整数値のローラン多項式として解釈できるという現象にひとつの説明を与えたものと言える。
また、これらの一連の事実をEvgeny Feigin氏、Ievgen Makedonskyi氏との共著論文の形で論文にし、出版が決定するところまで漕ぎ着けた。他にも(申請者は入っていないが外国人特別研究員である)Ievgen Makedonskyi氏とEvgeny Feigin氏の共同研究により半無限旗多様体の射影座標環の環構造が対応するアフィン・リー代数のレベル1基本表現の頂点作用素代数としての構造により記述されることが示され、これも論文の形で出版された。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
とりあえず当初の目的である半無限旗多様体を用いた非対称Macdonald多項式の$t = \infty$での特殊化の幾何学的実現が満足のゆく加群論的性質を持つことを確立することができたことで
また、(申請者は入っていないが外国人特別研究員である)Ievgen Makedonskyi氏とEvgeny Feigin氏の共同研究により半無限旗多様体の射影座標環の環構造が頂点作用素代数を通じた記述が確立された。これらとやはり今年出版された申請者の別の結果(半無限旗多様体に出現する大域Weyl加群は共型場理論を適切な意味で記述する)と合わせて考えると半無限旗多様体やカレント代数の表現論の構造の研究は組合せ論的帰結を巻き込みながら順調に育っていると言える。
|
| Strategy for Future Research Activity |
今年度はまず組合せ論およびカレント代数の表現論からアプローチとして非対称Macdonald多項式の代数的な実現、その幾何学的な対応物としての半無限旗多様体上の適切な層の構成、および旗多様体ではないが特殊な代数多様体の代数的ループ空間の表現論的な記述の３つについて注力する。これらのうちの少なくともふたつに関しても基本的なアイデア自体は既にこれで良いと思われるものがあるようには思われるが技術的な理由により証明の目処は全くついていない。
これらに限らず半無限旗多様体の理論に古典的な旗多様体の理論の定理を輸入したり、カレント代数、その変種や頂点作用素代数の表現論と半無限旗多様体の理論の関係を深めるような話はナイーブにはいくつか存在するので具体的なアイデアが出たら追求したい。
|
