2018 Fiscal Year Annual Research Report
An algebro-combinatorial approach to Kloosterman sums
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18F18326
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| Research Institution | Sophia University |
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Principal Investigator |
中筋 麻貴 上智大学, 理工学部, 准教授 (30609871)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
KIRAL EREN 上智大学, 理工学部, 外国人特別研究員
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| Project Period (FY) |
2018-11-09 – 2021-03-31
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| Keywords | Kloosterman和 / Bruhat分解 / Bott-Samelson分解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1926年に導入された指標和Kloosterman和は，群G=SL(2,Z)のBruhat分解と関係するKloosterman集合上に定義されることが報告されている．ここで，Bruhat分解は，群Gと関係するワイル群Wとボレル部分群Bを用いてG=BWBと表される分解である．D.Bump, S.Friedberg, D.Goldfeld(1988)は，Kloosterman和の高次元への拡張として，SL(3,Z)に対するKloosterman集合上にKloosterman和を定義した．また，Kloosterman集合をさらに細かく分解し，細分化した集合上にKloosterman和を定義することで，Kloosterman和の分解が可能であることを報告した．この結果を利用してV.Blomer, J.Buttcane, P.Maga等を中心に，SL(3,Z)におけるKloosterman和の研究が進展した．
本研究では，D.Bump, S.Friedberg, D.Goldfeld(1988)の結果について分析し，Kloosterman集合を先行研究の分解とは異なる分解をすることにより，より深い性質について考察することを目的とした．具体的には，G=SL(2,Z)において，Kloosterman集合の分解を，シューベルトカルキュラス理論で用いられるBott-Samelson分解を元に考察した．実際，直接Bott-Samelson分解を使用することはできないことが明らかになったが，ワイル群の最長元に対するBruhat分解について，Bott-Samelson分解に修正を加えることにより，Koosterman集合に新たな分解を与えることができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究では，Kloosterman和をMetaplectic群上に拡張した「Metaplectic Klooterman和」を定義し，対応するLie群のルート系に関する代数的および組合せ論的構造を用いて，これを解析してゆくことである．その第一段階として，従来のSL(2,Z)において，Kloosterman和が定義されるKloosterman集合を組合せ論的構造で解析する必要があった．これに対し，高ランクへの拡張が期待できる形の分解を与えることができた．これより，次年度以降の研究に進むにあたり，順調に進展していると判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
まず，本年度の結果をSL(3,Z)に拡張する．計算段階の確認には，計算数式処理ソフトSageを用いて確認を行う．次に，Kloosterman集合の分解の成果をもとに，分解したより小さい集合上にKloosterman和を定義し，それによって得られるKloosterman和の性質について研究を進める．また，SL(3,Z)のKloosterman集合の細分化に対するD.Bump, S.Friedberg, D.Goldfeldによる先行研究との比較を行う．さらに，Metaplectic群への拡張について考察する．
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