2018 Fiscal Year Annual Research Report
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18H01107
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
阿部 紀行 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (00553629)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | p進簡約群 / 既約表現 / 法p表現 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究計画の目的はp進群の法p表現論を調べ，法p Langlands対応への貢献を行うことである．手法としてはプロp岩堀Hecke環を使う．プロp岩堀Hecke環と法p表現との関係を調べ，法p表現の問題をプロp岩堀Hecke環の問題に帰着させての解決を試みる．
今年度は，その対応を調べる研究を行った．その結果として，法p表現の圏のある部分圏と，プロp岩堀Hecke環の表現の圏のある部分圏との間に圏同値があることを示した．現れる表現は「正則な」表現に限られるものの，このような強い結びつきは法p表現の研究に役立つことと思われる．
一方で，M.-F. Vigneras（IMJ-PRG）およびF. Herzig（トロント大学）と共同で，逆法p佐武対応の明示的な公式を求めた．証明にはプロp岩堀Hecke環が重要な役割を果たしており，「法p表現の問題をプロp岩堀Hecke環の問題に帰着させての解決」の一例でもある．応用として，以前G. Henniart（パリ南大学），M.-F. VignerasおよびF. Herzigとともに共同で証明した既約表現の分類定理の証明において重要な役割を果たした「ウェイトの変換定理」の別証明を得ることができる．
p進群の極大コンパクト群の表現論はp進群の表現論そのものに重要な役割を果たすが，それに関連して正標数における代数群の代数的な表現論の研究を行った．そのような中ではSoergel両側加群と呼ばれる対象が重要な役割を果たす．今年度は，Soergel両側加群の圏の新たな構成を行った．これまでの構成はElias-Williamsonが得た生成元と関係式によるもので，複雑である．私はより単純な構成法を与えた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
プロp岩堀Hecke環のと法p表現の，とある部分圏の間の圏同値という本研究計画において重要な役割を果たす結果を得ることができた．そのほか，逆法p佐武対応の明示公式や，代数群の表現論におけるSoergel両側加群の新しい定義を与えるなど，いくつかの結果を得ることができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き法p表現の研究も行う．また，今年度は思いがけず代数群の代数的な表現論に関する結果を得ることができた．これ自身も法p表現の研究に有効であると思われるので，今後こちらの研究も進めていくこととする．
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