法p表現とHecke環の表現論

2021 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 18H01107
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 阿部 紀行 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (00553629)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: p進バナッハ表現 / p進簡約群 / 既約表現

Outline of Annual Research Achievements

p進簡約群のp進表現，特にp進バナッハ主系列表現に関する研究を行った．これまでの研究により，有限次元p進バナッハ表現からの誘導表現の既約性に関する研究は有限次元スムーズ表現からの誘導表現の既約性に関する研究に帰着されることを示しているので，有限次元スムーズ表現からの誘導に絞って考察を行った．この場合には，スムーズ表現の意味での主系列表現の部分表現がすべてWhittker模型を持っているならば，考察の対象であるp進バナッハ表現が既約となることをすでに示している．そこで，この判定法を元に既約表現の例を与えることを考えた．この判定法はスムーズ表現のみの言葉で記述されているため，既存のスムーズ表現の理論を適用することができる．例えばGL(n)の場合にはBernstein-Zelevinskyの定理を適用することで多くの既約表現の例を与えることができた．また同種の定理を準分裂型の古典群や，GL(n,D)（Dは斜体）の場合に得ることができた．GL(n,D)についてはBernstein-Zelevinskyの理論を拡張することでほしい定理を得た．
また，p進な意味でのユニタリ表現からの誘導表現の既約性についても考察を行い，この場合に既約であるための必要十分条件を得ることができた．証明は，ユニタリであるという仮定から来るp進絶対値に関する評価と，スムーズな放物型誘導表現が可約になることから来る複素絶対値に関する評価を組み合わせて行われる．この二種の絶対値を比較するために，可約点に関する有理性を示した．この有理性に関する結果はそれ自身興味があると思われる．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

p進表現の理論は本研究で対象とする法p表現と密接に関連しており，その理解は重要である．特にp進バナッハ主系列表現の理解は基本的な問題であるが，これまでほとんどわかっていなかった．今回そこに切り込むことができたことは，本分野に一定の進展をもたらせたと思っている．

Strategy for Future Research Activity

p進放物型誘導表現の研究を引き続き行う．Whittaker模型に関する判定法が適用できない場合に対しても既約主系列表現の例を与える．