2018 Fiscal Year Annual Research Report
The analytic theory of arithmetic L-functions and multiple zeta-functions
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18H01111
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
松本 耕二 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (60192754)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
見正 秀彦 東京電機大学, システムデザイン工学部, 教授 (10435456)
鈴木 正俊 東京工業大学, 理学院, 准教授 (30534052)
小森 靖 立教大学, 理学部, 教授 (80343200)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 多重ゼータ関数 / 明示公式 / Schur 多重ゼータ関数 / ルート系のゼータ関数 / 周期積分 / 混合普遍性 / 離散普遍性 / Hurwitz ゼータ関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度の主要な成果の一つは、分母が多項式で与えられるような非常に一般化された多重ゼータ関数の負の整数点での値について、周期積分を含むような明示公式を与え、さらにその周期積分が超越数であるような例を構成できたことである。また特に分母の多項式がべき和の形の特殊なケースにおいては、より具体的な計算が可能になり、そのため、Riemann ゼータ関数の負の偶数点での値が 0 になることの一般化に相当する結果も示すことができた。これらの結果は Euler-Maclaurin の和公式と、Friedman-Pereira による Raabe 型の補題を基本的な道具として得られたものだが、一方で分子に捻りの因子が載っている場合には、Mellin-Barnes 積分公式と de Crisenoy の定理に基づく全く異なる方法により、ある場合には明示公式を証明できることを見出した。
また逆フック型と呼ばれる特殊な Young 図形に対応する Schur の多重ゼータ関数が、A 型のルート系のゼータ関数（を多少一般化したもの）で表示できることを発見した。ただこれはまだ解析的な計算で証明しただけで、表現論的な背景の解明には至っておらず、継続的な研究が望まれる。
普遍性定理の方向では、極めて一般的な Euler 積で定義されたゼータ関数と、周期的 Hurwitz ゼータ関数の複数個の組との間に混合型の離散普遍性定理が成り立つことを、パラメーターの間のある種の一次独立性を仮定した上で証明した。方法は確率論的な離散極限定理と稠密性定理に帰着させる、標準的な手法であるが、今までにない一般的な枠組みでの証明に成功している。また、公比と互いに素でない素因子に対応する Euler 因子を取り除いた変形ゼータ関数の離散普遍性定理も得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の一つの目標は多重ゼータ関数の理論を、分母が一般の多項式（あるいはさらにより一般のもの）であるような状況まで拡張することであるが、負の整数点での値の明示公式を得る、という基礎工事的な作業は今年度順調に進展した。しかもその結果として、必ずしも代数的とは限らないような周期積分が出て来たことは、ある程度予想されていたこととはいえ、極めて興味深い現象の発見と言って良いと考える。特にそれが実際に超越的であるような例を具体的に構成できたことは、今後の発展につながる重要な礎石となる結果である。Twisted factor が分子に載っている場合の研究も並行して全校で順調に進展したといえる。
Schur 多重ゼータ関数とルート系のゼータ関数を結びつける、という方向でも、とにかく少なくとも（逆フック型という）ある場合には関係がある、という重要な事実を確立できたことは大きい。逆フック型でない場合についても既にある程度の見通しはあるが、一般的な状況の解明、表現論的な根拠の調査などはまだまだこれからである。その意味で、来年度へ向けて重要な手がかりを与えた、と考えられる。
普遍性定理の理論においては、離散的な場合の混合普遍性について、いわゆる Matsumoto ゼータ関数と周期的 Hurwitz ゼータ関数の枠組みでの考察は、ほぼ完成に近いところまで進めることができた。これも重要な今年度の成果というべきであり、ほぼ当初の想定通りの進展といえる。ただし周期的 Hurwitz ゼータ関数の枠組みはなお十分に一般的なクラスを考えているとはいえず、より広い枠組みで連続、離散の両方のタイプの混合普遍性を見直す必要があり、来年度以降の課題としたい。
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| Strategy for Future Research Activity |
前項で記したように、次の喫緊のテーマは既に明確になっている。当面は、こうしたテーマについて、共同研究者たちと連絡を取りながら推進していくことが何より重要である。一般多重ゼータ関数の研究においては、フランスの D. Essouabri 氏との研究連絡が何より大切で、そのため、メール等での連絡のみならず必要に応じて相互に直接訪問することで、現在展開している理論の枠組みとその限界についての構造論的な把握を試みたい。
Schur 多重ゼータ関数については上智大学の中筋麻貴氏との共同研究が進行中であるが、この方面では山崎義徳氏、鈴木雄太氏、H. Bachmann 氏らとも連絡を取り合うことが研究推進の上で有効である。特に愛媛大学の山崎氏を招聘したり訪問したりして研究を進める。表現論的な背景の考察については立教大学の小森靖氏の意見も重要なので、氏とも議論を重ねたい。
値分布論においてはやはり M 関数の理論を推進することが必要である。インドの A. Sankaranarayanan, S. Gun といった人々との交流も重要である。すでに Gun 氏をこの秋にも日本に招聘することは計画済みで、その滞在中に値分布論についての議論を深めたい。 東京工業大学の鈴木正俊氏、峰正博氏や奈良女子大学の梅垣由美子氏もこの方面の造詣が深く、彼らとも討議を進めて、M 関数の理論の一般化、実部が 1/2 に近づくときの様子、関数解析との関係などについてより一層の考察を推進したい。
普遍性定理についてはリトアニアの R. Kacinskaite 氏との共同研究をさらに推進し、またポーランドの L. Pankowski 氏の意見も聞きながら、国際共同研究を進めていくことを想定している。
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