2018 Fiscal Year Annual Research Report
Wild motivic integration and application to singularities
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18H01112
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
安田 健彦 東北大学, 理学研究科, 教授 (30507166)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | モチーフ積分 / 野性的Deligne-Mumfordスタック / 商特異点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
モチーフ積分の理論を野性的Deligne-Mumfordスタックに一般化する研究を進めた。その結果、等標数の場合には十分に一般的な状況で理論を構築する方法を発見した。従来は、問題となる群が素位数の巡回群でアフィン空間に線形に作用する場合でのみ、理論が完成していた。特に線形から非線形へ一般化することに困難があったが、その問題をHomスタックを用いて克服できることが分かった。議論の詳細を確認する作業は次年度以降の課題となるが、理論構築へ向けた大きな進展といえる。理論が完成すれば、応用として等標数の野性マッカイ対応を証明することができ、特別な場合としてSerre-Bhargavaの量公式のモチーフ版を得る。また一般の有限群による野性的商特異点の研究にも応用が期待できる結果である。
また、研究協力者の山本貴大氏は、本研究課題を推進する際に重要となる野性的商特異点の研究を進めた。その研究において標数3において位数3の巡回群二つの直積による3次元アフィン空間の商が持つ病的な性質が明らかになった。その商多様体自身の特異点は対数的標準ではなく、双有理幾何的に悪いものであるが、任意の巡回部分群による商は標準特異点という良い特異点を持つというものである。この結果は、今後さらに野性的商特異点の理解を深めるための重要な手掛かりとなるだろう。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の主テーマである野性的状況でのモチーフ積分理論の構築に向け、非線形作用を克服するという非常に重要なステップを克服するアイデアを得たことは大きな成果だということができる。また、野性的商特異点の性質を明らかにするという応用研究についても同時進行で進んでおり、研究協力者、山本貴大氏による病的な商特異点の構成などの成果が得られた。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究で得られた、Homスタックを用いて非線形作用を取り扱うアイデアについて、議論の詳細を確認し論文にまとめる作業が翌年度の研究の当面の目標となる。具体的には、Homスタックの形式的スタックへの拡張、必要なリジット解析幾何における結果の確認、スタックの基本的性質で文献に載っていないものに証明をつけるなどの準備をしたのち、それらを組み合わせて理論を組み立てることになる。必要に応じて各分野の専門家と情報交換をするなどして、この取り組みを推進していく。
これと並行して、混合標数の場合への拡張や、捻じれを持つ被積分関数への一般化などに向け、どのようなアプローチが可能か模索を続ける。
また、野性的商特異点の研究についても、より一般の群、次元、標数などを研究することで、より包括的に特異点の性質をとらえられるようになることを目指す。そのために、より複雑な具体例を計算することが必要になり、必要に応じて計算機を利用して計算を進める。
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