2019 Fiscal Year Annual Research Report
Wild motivic integration and application to singularities
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18H01112
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
安田 健彦 東北大学, 理学研究科, 教授 (30507166)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Deligne-Mumfordスタック / モジュライ空間 / トーサー / 商特異点 / 量公式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度に得られていた等標数の野性的Deligne-Mumfordスタックへモチーフ積分の理論を一般化するアイデアについて、議論の詳細を確認し論文にまとめプレプリント・サーバーarXivで公開した。具体的にはHomスタックを用いて非線形作用を取り扱うというのが、この成果の鍵となるアイデアであった。また、形式的Deligne-Mumfordスタックの導入、スタックに関する基本事項の証明、リジッド解析幾何の結果の援用などをする必要があり、それらの詳細も論文に記した。これにより、かねてより予想として提出していた野性マッカイ対応の証明が、等標数で任意の有限群に対して完成した。この定理の系として、等標数において、Serre-Bhargavaの量公式のモチーフ版の証明も得られた。また別の応用として、野性的商特異点がいつ末端、標準、KLT特異点を持つかの判定法が理論上得られる。しかし、具体的な計算を実行し実用的な判定法を得る問題は、重要な課題として残っている。
一方、F. Tonini氏と共同で行っていた形式的トーサーのモジュライ空間の構成に関する研究成果を論文にまとめarXivで公開した。これは、同氏と以前に執筆した論文の続編に当たるものである。また昨年度までに成果の大枠は得られていたが、今年度その詳細の確認を終えた。以前の論文では、ある種の半直積になっている有限群に関するトーサーを扱ったが、今回の論文では任意の有限群を扱っている。ただし、半直積の場合のようにモジュライ空間を有限型Deligne-Mumfordスタックの順極限として構成するのは難しいため、Pスキームというスキームの変種としてモジュライ空間を構成した。Pスキームの概念を導入し、その基本的性質を調べるために、sur位相とluin位相という二つのGrothendieck位相を新たに導入した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
年度開始時に今年度の一番重要な課題と考えていた、等標数の野性的Deligne-Mumfordスタックに対するモチーフ積分の理論の完成とそれに関する論文の公開を実行することが出来た。また、形式的トーサーのモジュライ空間に関する論文も公開することが出来た。
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| Strategy for Future Research Activity |
野性マッカイ対応を野性的商特異点研究に応用していく。素位数の巡回群の場合に得られていた、商特異点がKLT等の良い性質を持つための判定法を、より複雑な群に拡げていき、最終的には一般的な公式を得ることを目指す。そのために、モジュラー表現論、モジュラー不変式論の知識が必要となるため、これらの理論の習得、専門家との交流を進める。また、非線形作用の場合に同様の公式を得ることは、難しい課題となるが可能性を探っていく。
一方で、理論のさらなる拡張も模索する。混合標数やねじれを持ったより一般の被積分関数の理論などを目指す。また、数論幾何における野生分岐理論との関連も探る。
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Research Products
(7 results)
