2019 Fiscal Year Annual Research Report
Einstein metrics and Ricci flow on singular spaces, and study of the Yamabe invariant
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18H01117
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| Research Institution | Chuo University |
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Principal Investigator |
芥川 一雄 中央大学, 理工学部, 教授 (80192920)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | アインシュタイン計量 / 山辺計量 / 山辺不変量 / 特異空間 / 特異山辺計量 / リッチフロー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
パリ大学の Iraria Mondello との特異空間上の特異山辺計量の存在・非存在・特徴付けの研究を前年度に続いて行い，Edge-cone 特異計量を持つ特異球面上で，cone angle が4π以上場合，特異山辺計量の非存在に関する結果を得た．また cone angle が2πより小さい場合，特異山辺計量全体は標準的特異球面の(特異集合を保つ)共形変換による引き戻しによるもの全体と一致するという，小畠型の定理も得た．以上は英語論文にまとめ投稿中である．
境界を持つコンパクトな Einstein 多様体 (M, g) 上で，定スカラー曲率計量(csc-計量)の一意性に関する小畠型定理に関する結果を研究した．境界を持つ場合は，計量 g には
M の境界上でその平均曲率がゼロという minimal boundary condition (MBC) を課すのが自然であることが分かっている．その様な仮定をしても，(M, g) 上の共計類 [g] 内におけるMBC を持つ csc-計量の一意性定理(i.e., 小畠型定理)は成立しないことが Escobar によって知られていた．そこで小畠型定理を [g] 内の MBC を持つ csc-計量達に対してではなく，MBC を持つ Einstein 計量達に対するものと解釈し，一意性定理を得た．以上も英語論文にまとめ投稿中である．
その他，5次元 Heisenberg 群の slab 領域内の minimal Legendre 曲面の面積に関する特徴付けの結果を得た．特にこの研究で得られた，Flux に関する等周型不等式は興味深い．この結果は現在，英語論文作成中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
２０１９年５月末に２週間程度入院して，その後療養等で研究のペースが遅れてしまった．特に，特異リッチフローの研究のリッチフローの研究が順調に進まなかった．
境界付き多様体上のリッチフローの研究は順調に行ったが，この研究中にいろいろな数学的・技術的困難に気が付き，現在まで予想していた様な結果が得られていない．
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| Strategy for Future Research Activity |
先ずは，特異 Einstein 計量の，Ricci 曲率を下限を保ったままの，滑らかな計量族による近似の結果を完成させ，その山辺不変量への応用を研究する．
次に，ファノ・ケーラー多様体に関して，その特異ケーラー Einstein 計量の山辺不変量の応用の研究をする．
境界付きコンパクト多様体上で，conformally compact Einstein 計量の存在定理をお手本として，incomplete Einstein 計量の Dirichlet (または Neumann)問題の研究を行い，相対山辺不変量への応用を考える．
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Research Products
(7 results)
