2020 Fiscal Year Annual Research Report
Einstein metrics and Ricci flow on singular spaces, and study of the Yamabe invariant
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18H01117
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| Research Institution | Chuo University |
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Principal Investigator |
芥川 一雄 中央大学, 理工学部, 教授 (80192920)
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2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 山辺不変量 / 小畠型定理 / 相対山辺計量 / 相対Einstein計量 / 相対山辺不変量 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究課題は特異多様体上の山辺計量およびそれを応用した山辺不変量の研究であった．得られた成果は，
(1) 境界付きコンパクト多様体上の小畠型定理である．詳しく述べると，境界付きコンパクトEinstein多様体(M, g)を考える．(M, g)の境界の境界が極小曲面のときは小畠型定理は成立しない，すなわち極小条件を満たすgと共形的な定スカラー曲率計量の一意性は成立しないことがEscobarによって既に指摘されていたことに注意する．我々は同じ設定の下，極小条件を満たすgと共形的なEinstein計量の一意性が成り立つことを示した．また(M, g)の境界がtotally geodesicの場合は，小畠型定理が成立ことが同じくEscobarによって示されていた．我々はこの設定の下，(M, g)の相対山辺定数と(M, g)の境界の山辺定数に関するGursky-Han型の不等式をさらに示した．またその不等式の等号が成立するとき，逆のタイプの不等式も成立することも示した．
(2) 日本数学会の論説として出版された「山辺不変量」の英訳「The Yamabe invariant」がAmerican Mathematical SocietyのSugaku Expositionsとして出版された．
(3) 連携研究者の濱中氏と境界付きコンパクト多様体上のRicci flowの初期値問題とその幾何学的応用の研究で進展があった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
コロナ禍のため，計画していた直接対面での研究連絡および国際研究集会等，特に「日独友好幾何学研究会」が予定通りに開催できなかった．「日独友好幾何学研究会」は2023年3月にやっと開催できた．
特に特異Einstein計量の滑らかな計量族による近似定理とその山辺不変量への応用は，2023年度に持ち越すこととなった．
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| Strategy for Future Research Activity |
2023年度は，当初の主目的であった特異Einstein計量の滑らかな計量族による近似定理とその山辺不変量への応用に集中して研究を行う．
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