2019 Fiscal Year Annual Research Report
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18H01118
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
山口 孝男 京都大学, 理学研究科, 教授 (00182444)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
塩谷 隆 東北大学, 理学研究科, 教授 (90235507)
本多 正平 東北大学, 理学研究科, 教授 (60574738)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 崩壊理論 / 境界付き多様体 / CAT(1)空間 / アレクサンドロフ空間 / 負曲率リーマン多様体 / 測度距離空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Zhilang Zhang 氏（Foshan)との共著論文である内半径が崩壊する境界つきリーマン多様体に関する論文がGeometry and Topology から出版された。また、Zhang 氏が１月から３月にかけての３か月間京都大学に滞在し共同研究を実施した結果、断面曲率が下に有界で境界の第２基本形式のノルムが一様に有界である境界つきリーマン多様体のGromov-Hausdorff距離に関する極限空間が無限小的にアレクサンドロフ空間になることをことを示した。この研究結果については、北京大学や立命館大学で開催された研究集会で成果発表した。また、永野幸一氏（筑波大）と塩谷隆氏（東北大）との共同研究により、曲率が上に有界な２次元距離空間(局所CAT(1)空間）の局所構造の決定についての論文の第１稿を完成させた。この研究は、曲率の上限の根源的な意味を理解する上でも、また２次元ではあるが曲率が上に有界な距離空間の一般的な局所構造を世界で初めて解明したという点でも意義深い。アレクサンドロフ空間の幾何学については、good covering やリプシッツ・ホモトピー収束理論、鈍角定数に関する論文をそれぞれ TransAMS, J.Geom.Anal,J.Math.Soc.Japan から出版した（いずれも三石史人氏（福岡大)との共著論文）。これらの研究により、崩壊現象およびアレクサンドロフ空間の研究のための新しい手法を開発することが出来た。また分担者の塩谷氏は、４次元負曲率リーマン多様体のエンドとして、多くのグラフ多様体が現れることを精緻な曲率計算により示した（藤原耕二氏（京都大）との共同研究）。本多正平氏（東北大）は、リッチ曲率が正の測度距離空間に対する球面定理を得た。
２月に筑波大学で研究集会「リーマン幾何と幾何解析」を開催し、成果発表や後進の育成に努めた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
境界付きリーマン多様体の極限空間や曲率が上に有界な２次元空間の構造論については、順調に研究が進んでいるため。
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| Strategy for Future Research Activity |
断面曲率が下に有界で境界の第２基本形式のノルムが一様に有界である境界つきリーマン多様体のGromov-Hausdorff距離に関する極限空間の境界特異点の分類、特徴づけ、次元と配置条件などを決定し、そのような極限空間の幾何学の基礎を確立すること（Zhilan Zhang 氏との共同研究）。
曲率が上に有界な２次元距離空間(局所CAT(1)空間）の局所構造の論文の最終稿の完成に続いて、そのような空間の大域構造を決定する。具体的には多面体近似とGauss-Bonnet定理についての論文を完成させる（永野幸一氏（筑波大）と塩谷隆氏（東北大）との共同研究）。
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