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2020 Fiscal Year Annual Research Report

リーマン多様体の収束・崩壊理論の新展開

Research Project

Project/Area Number 18H01118
Research InstitutionUniversity of Tsukuba

Principal Investigator

山口 孝男  筑波大学, 数理物質系(名誉教授), 名誉教授 (00182444)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 本多 正平  東北大学, 理学研究科, 教授 (60574738)
塩谷 隆  東北大学, 理学研究科, 教授 (90235507)
Project Period (FY) 2018-04-01 – 2021-03-31
Keywords境界付きリーマン多様体 / 崩壊 / 境界特異点
Outline of Annual Research Achievements

境界付きリーマン多様体の崩壊の研究は、以前のJeremy Wong氏の研究から始まったが、その後、研究代表者とZhilang Zhang 氏(Foshan)との共同研究により、内半径崩壊する境界つきリーマン多様体の構造定理が得られるまで全く進展がなかった。今年度は、Zhang 氏が4月から2021年1月まで京都大学に滞在し、断面曲率が下に有界で境界の第2基本形式のノルムが一様に有界である境界つきリーマン多様体のGromov-Hausdorff距離に関する極限空間の共同研究を実施した。内半径崩壊する場合、極限空間はアレクサンドロフ空間になるが、一般の場合、極限空間は極めてワイルドであり、極限空間の境界と呼ぶべき、崩壊するリーマン多様体の境界の極限に当たる部分の幾何が研究の突破口を開く鍵となる。そのため、先ず、極限空間の境界点を単純点と2重点に分類し、さらに単純点集合と2重点集合の境界に現れる点を単純特異点、2重特異点に分類した。ただし、これら2種類の境界特異点以外にも、単純点集合の内点でカスプ(尖点)と呼ぶべき特異点が現れる。今年度の研究では、極限空間のこれらの境界特異点の分類と特徴付け、それぞれの境界特異点集合のハウスドルフ次元の精密評価を与えた。特に単純特異点がカスプでもあることの証明は一筋縄では行かず、極限空間の境界の局所連結性に関する長い議論を経る必要があった。また上記の境界付きリーマン多様体の収束の下で、リーマン多様体の体積の収束および境界の体積の収束を示すことができた。他にいくつかの大域的な結果も得た。1月に筑波大学で研究集会「リーマン幾何と幾何解析」を開催し、成果発表や後進の育成に努めた。

Research Progress Status

令和2年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

令和2年度が最終年度であるため、記入しない。

  • Research Products

    (7 results)

All 2021 2020

All Journal Article (3 results) (of which Peer Reviewed: 3 results) Presentation (4 results) (of which Int'l Joint Research: 3 results,  Invited: 4 results)

  • [Journal Article] New differential operator and non-collapsed RCD spaces2020

    • Author(s)
      Shouhei Honda
    • Journal Title

      Geom. Topol

      Volume: 24 Pages: 515--559

    • DOI

      10.2140/gt.2020.24.2127

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Rigidity for positive Ricci curvature via metric measure geometry2020

    • Author(s)
      Shouhei Honda
    • Journal Title

      Adv. Stud. Pure Math.

      Volume: 85 Pages: 151--161

    • DOI

      10.2969/aspm/08510151

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Graph manifolds as ends of negatively curved Riemannian manifolds2020

    • Author(s)
      Koji Fujiwara, Takashi Shioya
    • Journal Title

      Geom. Topl

      Volume: 24 Pages: 2035--2074

    • DOI

      10.2140/gt.2020.24.2035

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] 固有関数による球面の特徴付け2021

    • Author(s)
      本多正平
    • Organizer
      リーマン幾何と幾何解析
    • Invited
  • [Presentation] A new sphere theorem via the eigenmap2020

    • Author(s)
      Shouhei Honda
    • Organizer
      Geometric Measure Theory and Geometric Analysis in Moscow
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] A new sphere theorem via the eigenmap2020

    • Author(s)
      Shouhei Honda
    • Organizer
      2020 Virtual Workshop on Ricci and Scalar Curvature
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Ellipsoids converge to Gaussian spaces2020

    • Author(s)
      Takashi Shioya
    • Organizer
      Geometric Measure Theory and Geometric Analysis in Moscow
    • Int'l Joint Research / Invited

URL: 

Published: 2022-12-28  

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