2021 Fiscal Year Annual Research Report
Kobayashi-Hitchin correspondence and Donaldson-Tian-Yau conjecture on generalized complex geometry
| Project/Area Number |
18H01120
|
|---|
| Research Institution | Osaka University |
|---|
Principal Investigator |
後藤 竜司 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (30252571)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
榎 一郎 大阪大学, 大学院理学研究科, 准教授 (20146806)
大川 新之介 大阪大学, 大学院理学研究科, 准教授 (60646909)
満渕 俊樹 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (80116102)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
|
| Keywords | 一般化された複素構造 / 一般化されたケーラー構造 / ポアソン多様体 / スカラー曲率 / モーメント写像 / 一般化された接触構造 / 一般化された佐々木構造 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
一般化された複素構造および一般化されたケーラー構造は通常の複素構造, シンプレクティック構造を特別な場合として含む多様体の幾何構造である. ポアソン 幾何, ノンケーラー幾何(双エルミート幾何), 非可換代数幾何, 幾何学的偏微分方程式, 実4次元の微分トポロジーなど, 様々な分野と深く関連しており, この 研究分野の最近の大きな進展が注目されている. 研究代表者の研究により, 一般化されたケーラー多様体の変形安定性定理が確立され, 非自明な一般化された ケーラー多様体が正則なポアソン構造により豊富に構成されることが示され, この分野の研究が急速に進展した. 一方, 近年, ケーラー・アインシュタイン幾何学において, Yau-Tian- Donaldson 予想(YTD 予想)がファノ多様体に関して解決され顕著な発展が起こっている. 今年度においては、一般化されたケーラー多様体のスカラー曲率の研究をさらに推進し、また一般化された接触構造及び一般化された佐々木構造の研究を進めた。藤木・ドナルドソンによるスカラー曲率をモーメントマップとして捉える「moment map picture」を研究代表者は一般化されたケーラー多様体にも拡張したが、この一般化されたケーラー多様体のスカラー曲率を標準束の自明化に依らない形で再定式化を行った。また一般化された接触構造の積分可能条件に関してシ リンダー型とコーン型の2種類あることを明解にし、これらの研究を行った。これらの成果は2023年4月にStony Brook University, Simons center で開催され た研究集会 Supergravity, Generalized Geometry and Ricci Flow にて発表した。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は研究成果として、三つの論文が出版されることとなった。
R. Goto, The Kobayashi-Hitchin correspondence of generalized holomorphic vector bundles over generalized Kahler manifolds of symplectic type, IMRN 2022,
R. Goto, Moduli spaces of Einstein-Hermitian generalized connections over generalized Kahler manifolds of symplectic type, Rivista di Matematica della Universia di Parma, 2022,
R. Goto, Matsushima-Lichnerowicz type theorems of Lie algebra of automorphisms of generalized Kahler manifolds of symplectic type, Math. Ann. 2022
|
| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究代表者の研究により、シンプレクティック型の一般化されたケーラー多様体においてベクトル束に関する Kobayashi-Hitchin 対応は確立した。今後はシンプレクティック型の一般化されたケーラー多様体における Yau-Tian-Donaldson 予想の研究を進めていく。既に、研究代表者はモーメント・マップの視点からスカラー曲率の概念を確立しており、このことから、一般化されケーラー多様体において、二木不変量、満渕汎関数の定式化、構成が自然に導かれる。通常のケーラー多様体においては、コホモロジークラスを固定して得られるケーラー計量全体の空間は可縮となるのであるが、一般化されたケーラー多様体においては、対応する一般化されたケーラー計量全体の空間が”曲がっている”。そのため、この空間が連結であるか、そして単連結であるかが問題となっている。また、一般化されたケーラー多様体においてドナルドソン・二木不変量の代数的、あるいは位相的記述も重要な問題となる。
|
