2018 Fiscal Year Annual Research Report
Spectral properties of symmetric Markov processes and stochastic analysis
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18H01121
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
竹田 雅好 東北大学, 理学研究科, 教授 (30179650)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
桑田 和正 東北大学, 理学研究科, 教授 (30432032) [Withdrawn]
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 対称マルコフ過程 / 準定常分布 / 処罰問題 / ディリクレ形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度までの研究で、対称マルコフ過程に対して、既約性、強フェラー性、緊密性なる三つの性質をもつクラス(以下, クラス(T)と呼ぶ)を導入し、その性質を調べてきた。特に、クラス（T）に属するマルコフ過程が生成する半群はL^2-コンパクト作用素となり, 全ての固有関数が有界連続修正をもつことを示した。さらに保存性を仮定すると、非常に強いエルゴード性、すなわち任意のコンパクト集合に対してその補集合からの脱出時刻が指数可積分性をもつことを示した。吸収壁マルコフ過程がクラス(T)に属する場合には、基底状態を用いたh-変換によって構成される対称マルコフ過程は、クラス(T)に属する保存的な対称マルコフ過程になることが示せる。本年度はこれら結果の応用として、多次元の対称安定過程に正のポテンシャルをもつファインマン・カッツ汎関数のウエイトをつけ、それをさらに正規化して得られる確率測度の長時間極限（ファインマン・カッツ処罰問題と呼ばれる）を考察し、正のポテンシャルがlog|x|より早く発散するときに、極限の確率測度の存在とその特徴付けを指導学生であるYunke Liとの共同研究で行った。
ディリクレ形式にポテンシャル項を加えてできる正定値シュレディンガー形式に対する臨界性・劣臨界性の定義を、h-変換をとおしてディリクレ形式の再帰性・過渡性で定義した。強フェラー性を持つ既約な対称マルコフ過程の生成するディリクレ形式にグリーン緊密性を持つ測度を加えて定義される正定値シュレディンガー形式に対しては、臨界性・劣臨界性の判定が時間変更過程のスペクトル下限が1に等しいか大きいかで与えられる。今年度はその応用として, 正定値シュレディンガー形式の比較することにより、一方の臨界性から他方の臨界性が導かれるというリュービル型定理を示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
正定値シュレディンガー形式に対しては、臨界性・劣臨界性の判定を時間変更過程のスペクトル下限が1に等しいか大きいかで与えた。また、マルコフ作用素にポテンシャルを加えてできるシュレディンガー型作用素のグリーン関数に対して、それを核にもつポテンシャルを考える。そのポテンシャルに対して、最大値原理、連続性原理、エネルギー原理などマルコフ核がもつポテンシャルの基本的原理が保たれるための条件も時間変更過程のスペクトル下限が1に等しいか大きいかで与えることができた。
今年度は正定値シュレディンガー形式の比較することにより、一方の臨界性から他方の臨界性が導かれるというリュービル型定理を示したが、やはりその証明にも正定値シュレディンガー形式の臨界性・劣臨界性の判定が時間変更過程のスペクトル下限で与えられることが重要な役割を果たした。いずれの場合も、代表者が以前から考察している対称マルコフ過程のクラス（クラス（Ｔ）と呼んでいる）に、時間変更過程が属することが鍵となっている。クラス（Ｔ）というクラスの設定は、一次元拡散過程の次に研究するクラスとして代表者が導入したが、そのクラス設定が上手く機能しているといえる。
その他、準定常分布の存在と一意性が、保存的でないクラス（Ｔ）に属する対称マルコフ過程に対して示せたし、今年度はそのアイデアをもちいて、正のポテンシャルをもつファイマン・カッツ処罰問題を対称安定過程に対して応用できた。
クラス（Ｔ）に属すマルコフ過程の半群はL^2-コンパクトであることを示したが、指導学生である松浦浩平はL^1-コンパクトに強化できる場合のあることを示し、さらに桑江（福岡大）と土田（防衛大）は強フェラー性の条件なしにL^2-コンパクトが示すなど、代表者の結果も関連する研究者に取り上げられ、強化ならびに拡張されている点でさらなる発展が見込める。
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| Strategy for Future Research Activity |
クラス(T)に属する保存的でない対称マルコフ過程に対して, 準定常分布の存在と一意性を
示し、さらに内在的超縮小性を満たせばヤグロム極限にもなっていることが示せたが、興味深い適応例を見つけることが課題となる。特に、ジャンプを許す多次元の対称マルコフ過程に対しては、この一般論を適応できる具体例が少ない。具体的な生物モデルに対して, 生存時間の減衰速度と準定常分布への収束速度を計算し比較検討することで、準定常分布の役割を明確にする。
成果で述べたリュウビル性についても十分条件を見つけたが、多くの場合必要条件でもあるのではないかと考えている。正定値シュレディンガー形式に対する臨界性・劣臨界性について共同研究したことのある土田兼治（防衛大）と研究連絡をとる。具体的な生物モデルに対して生存時間の減衰速度と準定常分布への収束速度を計算し、比較検討する。数学的な副産物として, 処罰問題をヤグロム極限の一般化と捉え, 広い範囲の乗法汎関数に対して処罰問題を解決する。
松浦浩平のL^1-コンパクトの証明を鑑みると、クラス（T)に属する広い範囲の対称マルコフ過程に対してL^1-コンパクト性が成立している可能性がある。その点を明らかにするために、マルコフ半群をL^1空間上の作用素としてそのスペクトルの性質を研究する。従来、スペクトルの下限のL^p-独立性を示してきたが、スペクトルのL^p-独立性にが示せ、また基底状態の可積分性を示したが、すべての固有関数が可積分であることが示せるであろう。また、桑江と土田の結果を考えると、これまで仮定してきた強フェラー性の条件は、推移密度関数の絶対連続性の置き換えることができそうだ。彼らとの研究連絡を密にして、その点を明らかにし、これまで代表者の示した結果を強化し拡張する。
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