2019 Fiscal Year Annual Research Report

Spectral properties of symmetric Markov processes and stochastic analysis

Research Project

Project/Area Number	18H01121
Research Institution	Kansai University
Principal Investigator	竹田雅好関西大学, システム理工学部, 教授 (30179650)
Project Period (FY)	2018-04-01 – 2023-03-31
Keywords	ディリクレ形式 / 対称マルコフ過程 / シュレディンガー形式 / 最大値原理
Outline of Annual Research Achievements	昨年度までの研究で、対称マルコフ過程に対して、既約性、強フェラー性、緊密性なる三つの性質をもつクラス(以下, クラス(T)と呼ぶ)を導入し、その性質を調べてきた。特に、クラス（T）に属するマルコフ過程が生成する半群はL^2-コンパクト作用素となり, 全ての固有関数が有界連続修正をもつことを示した。さらに保存性を仮定すると、非常に強いエルゴード性、すなわち任意のコンパクト集合に対してその補集合からの脱出時刻が指数可積分性をもつことを示した。これらの結果を示すうえで、マルコフ過程論の変換論の一つであるランダムな時間変更の理論が, 極めて有効であることが分かってきた。実際、劣臨界性、臨界性を, 時間変更過程の最小固有値によって特徴づけることはできる。その一つの応用として, シュレディンガー形式に対するポテンシャル論の構築した。詳しくは, ポテンシャル論の基本原理である、魚返の最大値原理、カルタンの最大値原理、連続性原理、エネルギー原理、平衡原理、掃散原理などを示した。これら原理は, 従来核の形に応じて示されてきた。ディリクレ形式論の一つの動機は、核に依らないポテンシャル論構築にある。その場合、ディリクレ形式が再帰的か過渡的かが理論に大きく影響する。シュレディンガー形式に対するポテンシャル論の構築においても、再帰性・過渡性の拡張概念である臨界性・劣臨界性が大きな役割を果たすことが分かった。また、シュレディンガー形式における最大値原理やリュービル性の成立の条件も、時間変更過程の最小固有値の言葉で与えることができた。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 昨年までの研究で、正定値シュレディンガー形式に対しては、臨界性・劣臨界性の判定条件を時間変更過程のスペクトル下限が1に等しいか大きいかで与えた。また、マルコフ作用素にポテンシャル関数を加えてできるシュレディンガー型作用素のグリーン関数に対して、それを核にもつポテンシャルを考えた。特に、最大値原理、連続性原理、エネルギー原理などマルコフ核が持つポテンシャルの基本的原理が保たれるためのポテンシャル関数に対する条件を、時間変更過程のスペクトル下限が1に等しいか大きいかで与えることができた。また、正定値シュレディンガー形式の比較することにより、一方の臨界性から他方の臨界性が導かれるというリュービル型定理を示した。その証明にも正定値シュレディンガー形式の臨界性・劣臨界性の判定が時間変更過程のスペクトル下限で与えられることが重要な役割を果たし、いずれの場合も、代表者が以前から考察している対称マルコフ過程のクラス（T)の導入が鍵となっている。この対称マルコフ過程におけるクラス設定が上手く機能しているといえる。ポテンシャル論の基本原理は, 従来核の形に応じて示されてきた。ディリクレ形式論の一つの動機は, 核に依らないポテンシャル論構築にある。再帰性・過渡性の拡張概念である臨界性・劣臨界性が、シュレディンガー形式に対するポテンシャル論構築に大きく影響することを示し、この古典的問題に新しい視点が与えられたと考えている。
Strategy for Future Research Activity	保存的でない、クラス（T)に属する対称マルコフ過程に対して、準定常分布の存在と一意性を示し、さらに内在的超縮小性を満たせばヤグロム極限にもなっていることが示せたが、その興味深い適応例を見つけることが課題となる。特に、ジャンプを許す多次元の対称マルコフ過程に対しては、この一般論を適応できる具体例が少ない。具体的な生物モデルに対して, 生存時間の減衰速度と準定常分布への収束速度を計算し比較検討することで、準定常分布の役割を明確にしたい。引き続き研究課題をする。臨界性・劣臨界性の概念はマルコフ過程における再帰性・過渡性の拡張概念であることに着目して、拡張シュレーディンガー空間の言葉で臨界性・劣臨界性を特徴づけることができた。再帰的ディリクレ形式からh－変換をとおして臨界的シュレーディンガー形式を構成することで、臨界的ハーディ重みの構成が可能になると考えている。正定値シュレディンガー形式はファイマン・カッツ変換で構成される。ファイマン・カッツ変換をさらに一般の乗法汎関数による変換に代えることで構成される正定値対称形式に対しても結果の拡張を考える。そのことにより、非局所形式の場合を含む場合に臨界的なハーディ不等式を示すことを目指す。そのためには、非局所ディリクレ形式の再帰性について結果を調べ、整備する。