2020 Fiscal Year Annual Research Report
Quasiconformal extension in differential geometry and theory of the universal Teichmueller space in harmonic analysis
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18H01125
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
松崎 克彦 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (80222298)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
新井 仁之 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (10175953)
須川 敏幸 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (30235858)
佐官 謙一 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 特任教授 (70110856)
小森 洋平 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70264794)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 複素解析学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
調和解析的な擬等角拡張の理論において有用な進展があった．以下の (a) は VMO タイヒミュラー空間，(b) は可積分タイヒミュラー空間に関する理論に応用をもつものである．
(a) 熱核を畳み込みの核とした Beurling-Ahlfors 拡張の変形を用いて，微分の log が VMO となる擬対称写像（強対称写像）の擬等角拡張の歪曲係数が，上半平面上の退化するカルレソン測度を誘導することを示した．(b) ヴェイユ・ピーターソン写像および曲線は，双曲計量に関する２乗可積分なベルトラミ係数で定義されるタイヒミュラー空間によりパラメトライズされる．Shen による一連の研究があり，最近では擬等角写像を用いない微分幾何的な特徴付けが Bishop により与えられている．現在活発な研究が進んでいる分野に以下の観点から新しい議論を付け加えることができた．
(b-1) ヴェイユ・ピーターソン写像および曲線を p 乗可積分なベルトラミ係数で与えられるものに一般化する．対応するタイヒミュラー空間の理論は既にあるが，強対称写像がつくるベゾフ空間に関する基本的結果，タイヒミュラー空間の位相群としての性質などを証明した．(b-2) ヴェイユ・ピーターソン曲線を同時一意化の方法によりタイヒミュラー空間の直積と同一視し，そこからヴェイユ・ピーターソン強対称写像の微分の logへの対応が，像の上への双正則写像であることを示した．これは Shen の議論とは逆の方向からのアプローチであるが，ヴェイユ・ピーターソン曲線の空間により明快な座標を与えることができ，これまでに研究された結果を統一的に理解することが可能になった．熱核を用いた強対称写像の擬等角拡張により，この対応の逆写像を十分大きな範囲で与えることができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
議論の中心をなす基本的な手法が確立され，必要な命題の証明もできるようになった．タイヒミュラー空間論の標準的な議論に乗せる枠組みができつつある．
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| Strategy for Future Research Activity |
BMO タイヒミュラー空間およびヴェイユ・ピーターソンタイヒミュラー空間について，先行研究の議論を一新する明快な理論を構築することが可能になってきた．今後は，それをさらに推し進めて行く予定である．
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