2018 Fiscal Year Annual Research Report
Studies on discrete quasi-integrable systems
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18H01127
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
時弘 哲治 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (10163966)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 準可積分系 / 離散力学系 / 超離散系 / co-primeness |
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| Outline of Annual Research Achievements |
方程式が多項式のいくつかの因子に分解可能であるケースについて，一次元および二次元離散方程式のco-primeness 性（有理式として互いに素である性質）を調べた．
いくつかの初等的方程式についての考察を行った後，Somos-$4$方程式と（1次元）離散Toda方程式の高次元拡張に焦点を当てた．
以前の結果では，方程式の右辺が因数分解できない場合，すべての方程式が既約性とco-primeness 性を満たす事を証明している．今回は，既約性はもはや満足されないケースについて，右辺が因数分解可能であっても，これらの方程式に関してはco-primeness性が依然として成り立つことを証明した．
続いて，離散可積分系の応用として交通流のモデルを考察した．ウルフラムのエレメンタリーセルオートマトンのうちルール184セルオートマトンは，基本図（車の密度と流量の関係を示す図）を厳密に求めることが可能な交通流モデルとして有名である．一方，可積分な偏微分方程式であるバーガーズ方程式も交通流を記述する方程式として有名である．最近，セルオートマトンをFuzzy化することによって，無限の状態を取りうるがセルオートマトンの特性ももつ，ファジーセルオートマトン（Fuzzy Cellular Automaton）の研究が進んでいる．そこで，ルール184をFuzzy化したルール184ファジーセルオートマトンを構成し，その交通流モデルとしての基本図を解析的に求めた．その結果，自由走行解，渋滞解の他に実際の高速道路などでも観測される振動解が定常解として存在することがわかった．また，それらの安定性について議論し，解析的な表現を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の目的は，可積分CAについてより一般的な枠組みからとらえようとするものである．可積分CAは，もともと，古典可積分系（非線形可積分方程式系）および量子可積分系の極限系として創り出され，いわば可積分系の「骨組み」であった．本研究では，この可積分系の「骨組み」を一般化し深く理解するために，準可積分系という概念を提唱し，co-primeness 条件を特異点閉じ込めの代数的な表現と考えた．これまで，離散ソリトン方程式やQRT写像などの既存の離散可積分系がこの条件を満たすことを示し，Somos-4方程式と（1次元）離散Toda方程式の高次元拡張に焦点を当て，方程式の右辺が因数分解できない場合，すべての方程式が既約性とco-primeness 性を満たす事を証明したのち，既約性はもはや満足されないケースについて，右辺が因数分解可能であっても，これらの方程式に関してはco-primeness性が依然として成り立つことを証明した．現在では，円分多項式に付随する離散力学系に対して，co-primeness条件の成立するものを分類しているが，超離散化の手法と組み合わせることにより，分類が容易になることを示すなど，新しい準可積分系の構成が進んでいる．
また，CA自身は当該分野（無限次元可積分系）では最近になって注目されてきた対象であり，新しい概念の創出，理論発展が期待され，新局面を開き当該分野の発展に貢献する点で意義深いと考え，扱いやすい数理モデルとして広く普及しているため，実社会での幅広い応用を考察することも目標であった．これに対して，バーガーズ方程式やルール184セルオートマトンを含む，当初の予想とは異なる形の準可積分数理モデル（ファジーオートマトンモデル）を提案できたことは，一つの重要な成果であり，準可積分系の応用面の研究も進展している．
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| Strategy for Future Research Activity |
現在考えている研究の方向は2点であり，どちらも準可積分系の応用を目指すものである．
一点目は，離散可積分系が折り紙工学との関係の明確にし，それを準可積分系に拡張し，新しい工学的に有用な折り方を提案しようとするものである．折り紙は2次元平面の離散変形であり，折り紙の規則は，ある種の離散可積分系の時間発展方程式に近いものとも考えられることが指摘されている．この「近さ」は，折り紙の規則が完全な離散可積分系とはみなせないことを意味しており，われわれの考える準可積分性に類似のものであることを示唆している．必ずしも有限平面とは限らない平面を用いた折り紙を考えることは，また，新しい準可積分系の存在を示唆している．平面以外の対象を考えることにより，ミウラ織など実際に工学に応用されているものを超えて，新しい工学的に有用な折り方，折り紙工学，を発見することを目標としている．
2点目は，交通流モデルであるファジーセルオートマトンの一般化である．最初は，これまでのルール184ファジーセルオートマトンの比較的直接的な一般化であるスロースタートモデルに対応するファジーセルオートマトンを構成する．スロースタートモデルは，自由走行領域のオーバーシュートを実現できるモデルとして知られているので，そのファジー化により，現実の系により適合した基本図が現れることが予想される．また，その領域の安定性をどのように示すことができるか，数学的にも興味深い．さらに，このモデルには，対応する可積分系として，ヒルベルト変換を一般化した積分変換を含む離散力学系が知られている．この系は連続系であるが，その離散化についてはこれまで研究がされておらず，これから研究を進めたい．また，可積分性を壊して準可積分系を構成することはさらに興味深い問題であり，この問題にも取り組んでゆきたい．
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