2019 Fiscal Year Annual Research Report
非線形波動に関連した偏微分方程式系の解の大域存在のための構造条件と漸近挙動
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18H01128
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
片山 聡一郎 大阪大学, 理学研究科, 教授 (70283942)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 非線形波動方程式 / 非線形シュレディンガー方程式 / クライン・ゴルドン方程式 / 初期値問題 / 大域解 / 漸近挙動 / 零条件 / 弱零条件 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、非線形シュレディンガー方程式系の初期値問題に関する研究を行った. いわゆる零条件よりも弱い条件(以下, "弱"零条件)の下での小さな初期値に対する大域解の存在が1次元および2次元空間で知られているが, この大域解の漸近挙動について調べた.この"弱"零条件よりも1次元空間の場合には若干強い制約がつくような(2次元空間のときは同一の)"弱"零条件の下では大域解の漸近挙動が, 非線形シュレディンガー方程式系より決まる簡約化方程式系の解を用いて記述できることを示した. また, 解が漸近自由, すなわち漸近的に自由解と同様のふるまいをするとき,漸近先の自由解が満たすべき条件を導いた. いくつかの具体的な非線形シュレディンガー方程式系に対して, 上記の結果を応用して漸近挙動を考察し, 例えば Colin-Colin により提唱された非線形シュレディンガー方程式系の大域解は, 一般には漸近自由とならないことを示した. 以上の結果は迫田大輔氏(大阪大学)との共同研究であり, 学術誌への掲載が決定している.
他には3次元空間における波動方程式とクライン・ゴルドン方程式の非線形連立系の初期値問題を考察した. この連立系に対する大域解の存在定理はいくつかあるが, いずれの場合も波動方程式の非線形項の波動のみからなる項には零条件が仮定されていた. 本年度はこの零条件を"弱"零条件に代えて大域解の存在を示すという問題に取り組んだ(大阪大学の程 明港氏との共同研究). 半線形波動方程式の"弱"零条件はいくつか知られているが, 片山-的場-砂川による条件へと弱めることを考えた. 残念ながら当初の想定とは異なる(おそらくは)技術的な付加条件がついてしまったが, 既知の結果では扱えないような連立系に対する大域解の存在定理を得ることができた(投稿準備中).
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の計画通りに本年度は非線形シュレディンガー方程式系, および波動方程式とクライン・ゴルドン方程式系を考察し、"弱"零条件下での大域解の存在もしくは漸近挙動に関して一定の成果が得られたため, 計画はおおむね順調に進展していると判断した.
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| Strategy for Future Research Activity |
現時点では,当初計画どおり進展していると判断できるため,次年度以降も当初計画どおりに進めていこうと考えている.
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Research Products
(4 results)
