2020 Fiscal Year Annual Research Report
非線形波動に関連した偏微分方程式系の解の大域存在のための構造条件と漸近挙動
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18H01128
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
片山 聡一郎 大阪大学, 理学研究科, 教授 (70283942)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 非線形波動方程式 / 非線形シュレディンガー方程式 / 初期値問題 / 大域解 / 漸近挙動 / 零条件 / 弱零条件 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は半線形波動方程式系と非線形シュレディンガー方程式系に対する初期値問題を考え, ある種の"弱"零条件の下での大域解の漸近挙動について研究した. これらの方程式系は異なる型の方程式系であるが, 簡約化方程式系を通じて統一的な考察が可能になる.
一般には初期値問題に対して大域解(任意の時刻までの解)は存在するとは限らない. これらの方程式系に対しては, 零条件という条件下では(小さな初期値に対しては)大域解が存在すること, 及びその大域解が自由解(非線形項を持たない方程式の解)に漸近することが知られている. また初期値を小さくすると, もとの初期値は漸近先の自由解の初期値(以下, 漸近初期値とよぶ)に近づく. 近年は, 零条件よりも弱い条件の下で大域解の存在が示されている. ここでは, これらの条件を総称して"弱"零条件とよぶ. "弱"零条件の下での大域解は自由解に近づかない場合や, 自由解には近づくが, 初期値をいくら小さくしても, もとの初期値が漸近初期値に近づかない場合もあることが近年、明らかになってきた.
今年度は, もとの初期値と漸近初期値の関係についての研究を進めた. ある種の"弱"零条件の下で大域解が自由解に漸近するとき, 漸近初期値が満たすべき条件を簡約化した非線形項を用いて表すことに成功した. また, 漸近初期値がもとの初期値に近づくときに初期値が満たすべき条件も同様に表すことに成功した. これにより, 考察している"弱"零条件下では, 零条件が成立するとき, そのときに限って, 大域解がもとの初期値と近い初期値をもつ自由解に常に漸近することを明らかにした.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初計画で予定していた未解決問題のひとつを今年度は解決することができたため, おおむね順調に進展していると判断した.
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究はおおむね順調に進んでいるため, 今後も非線形波動方程式系や非線形シュレディンガー方程式系に対する初期値問題の大域解の存在条件や, 漸近挙動についての研究を進めていく.
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