2018 Fiscal Year Annual Research Report

Research on global analysis and concentration energy for nonlinear dispersive equations

Research Project

Project/Area Number	18H01129
Research Institution	Kobe University
Principal Investigator	高岡秀夫神戸大学, 理学研究科, 教授 (10322794)
Project Period (FY)	2018-04-01 – 2023-03-31
Keywords	分散型 / 適切生 / 初期値問題
Outline of Annual Research Achievements	本研究課題の初年度は，空間１次元の非線形シュレディンガー方程式をモデルとして，波動の分散性と非線形相互作用によって引き起こされる波動の集約性とエネルギー転換の関係性について，各波数モードの振幅の変位量を解析することにより研究した．とりわけ，各時刻における解のフーリエ波数の総和が方程式の尺度変換で不変となる5次の非線形項に制限して研究した．空間２次元以上の場合にはエネルギー転換の現象が既に考察されており，べき乗型の非線形項については，本研究で扱う空間１次元における５次の非線形項でどのようになるかがよく分かっていない．これまでの研究では，エネルギー転換を特徴つける非線形共鳴の考察から，有限近似モデルを構成し，そのモデルに対して有限モードの波数から時間発展を解析，さらに有限近似モデルと無限次元モデルとの近似評価式を経由することによって解析した．しかしながら，有限近似モデルに大きな誤差があり，近似評価式の精度が良くなかった．本年度は，有限近似モデルの構成を再考し，同じ波数帯で共鳴するモードによりこれまでの解析で障害となった誤差を特徴付け，評価式の精度を引き上げた．さらに，振幅の大きさのパラメータを導入し，その大きさを用いてエネルギー転換の度合いを評価することに成功した．振幅の大きさを導入することによって，エネルギー転換の考察時間は延長できたが，より時間大域的な評価式に対しては今後の課題とした．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 振幅の大きさに対するパラメータを導入することにより，マスエネルギーの転換を示す主要部分の抽出と，議論と証明の簡素化を行なったが，それらは大域的な評価式とは必ずしも言い難く，今後検討の余地はある．
Strategy for Future Research Activity	解の主要部分として，４つの有限波数モードに状況を単純化して時間発展を考察したが，一般の解は広範囲に渡る波数モードの非線形相互作用によって構成されているので，そのような状況も検討しなければならない．非線形項の次数を下げるなどの単純化から，方程式の対称性をより明確に引き出す方法も取り入れる．