2020 Fiscal Year Annual Research Report
Research on global analysis and concentration energy for nonlinear dispersive equations
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18H01129
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
高岡 秀夫 神戸大学, 理学研究科, 教授 (10322794)
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2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 分散型方程式 / 初期値問題 / 適切生 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は昨年度に続き，微分を非線形項に含む微分型非線形シュレディンガー方程式の初期値問題に対する時間大域可解性を研究した．完全可積分系の方程式に対しては，逆散乱法による強力な手法によってソリトン解を構成することができるが，捉えられる解のクラスとしては空間の遠方で十分早くゼロに減衰していることを仮定する場合が多い．ここで考えている微分型非線形シュレディンガー方程式の初期値問題は，方程式のスケール不変変換を満たす２乗可積分空間の値が多項式ソリトンと同じ場合であり，つまりそれほど早くゼロに減衰しない初期値を扱った．昨年度実行した計算から，時間無限遠を爆発を含む設定の下，解の１階導関数の時間発展が発散した場合には解の特異性が判明し，それは多項式ソリトン解に漸近することが分かった．それを踏まえ，本年度は解の１階導関数の時間発展が発散するかどうか，反証可能であるかについて研究した．まず，多項式ソリトンに対して，エネルギー量とモーメント量のいくつかがゼロ値であること，及び発散する解に対しては，プロファイル分解を用いて高階のエネルギー量とモーメント量を計算し，それがゼロに近づくことは判明したが，実際にそれが起こり得るかどうかまで解明することはできなかった．この方法によって，解の大域可解性が実現できるかどうかの問題については，今後の課題とした．これまでの結果を論文としてまとめ，雑誌インターネットアーカイブサイトへ掲載，その後で学術雑誌へも投稿した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
量臨界値の初期値に対して，エネルギー解が時間発展下で発散する場合の解の特異性はある程度解明できたが，時間的な適切生に関する結論は得ることができなかった．
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| Strategy for Future Research Activity |
最近の動向として，完全可積分系である構造による特徴と逆散乱法に準じた方法を関数解析あるいは実解析で取り扱い，初期値問題の大域適切性を研究する動向がある．このような方向性も取り入れつつ，オンラインセミナーで関連する研究者と意見を交わしながら課題の解決法を探る．
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