2021 Fiscal Year Annual Research Report
Research on global analysis and concentration energy for nonlinear dispersive equations
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18H01129
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
高岡 秀夫 神戸大学, 理学研究科, 教授 (10322794)
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2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 分散型方程式 / 非線形 / 初期値問題 / 適切性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，KdV 方程式の基本解を与える線形作用素に対するストリッカーツ評価式について，その臨界性と双線形形式の評価式への拡張を研究した．ストリッカーツ評価式は解の時空可積分性を表し，全空間において無限遠点で減衰する初期値に対しては，一般に解の時間減衰評価が成り立ち，そこから時間と空間において大域的なストリッカーツ評価式が導かれる．一方，有限領域におけるストリッカーツ評価式については，全空間のような時間減衰効果が期待されず，同等な評価式が必ずしも成り立たないことが知られていた．特に，空間変数に対して周期関数である場合，Bourgain によってルベーグ指数が 6 までのストリッカーツ評価式が考察されていたが，全空間の場合に実現されたストリッカーツ指数まで大きな隔たりがあった．そこで本年度は，周期関数の場合のストリッカーツ評価式が全空間の場合のルベーグ指数でも成り立つかどうか，反証の立場から研究し，ストリッカーツ評価が整合するルベーグ指数に制約があることを得た．また，双線形型のストリッカーツ評価式により平滑化効果を研究した．波数空間が異なる２つの初期値をKdV 方程式の基本解を与える線形作用素により時間発展させた場合，相互作用により解の平滑化が得られることが分かった．得られた双線形型の評価式を非線形評価に適用することによって，時間大域解に対するソボレフ増大評価式を得ることができた．ソボレフ増大評価式については既に知られていたが，今回は双線形評価式を用いることにより，より厳密な評価を与えることに成功した．論文は投稿中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の目的に沿って，KdV方程式の線形解に対して双線形評価式を証明することができ，それを非線形問題に適用することができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度は空間１次元のモデルを扱ったが，この手法が多次元の問題へ汎用できるか，その解析も重要と思われる．例えば，多次元の場合の非線形シュレディンガー方程式など重要な方程式がある．このような研究の方向性も考えつつ，対面セミナーを開催し、関連する研究者と意見を交わしながら課題の解決を探る．
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