2022 Fiscal Year Annual Research Report
Research on global analysis and concentration energy for nonlinear dispersive equations
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18H01129
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
高岡 秀夫 神戸大学, 理学研究科, 教授 (10322794)
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2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 分散型方程式 / 初期値問題 / 適切性 / 無限円柱領域 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究期間では，非線形シュレディンガー方程式とZakharov-Kuznesov方程式，それぞれの方程式に対する無限円柱領域の問題に対し，時間大域解の存在定理と解の大域評価を研究した．全空間の場合と異なり，コンパクト空間では，空間無限遠の解の減衰が期待されたいことによる定常的な振動，あるいは局在化した波動による平滑効果の不足など，解の性質として強い特異性を持つことが挙げられる．
非線形シュレディンガー方程式に対する研究では，質量臨界冪の非線形項を持つ場合に，時間大域解のア・プリオリ評価を高階微分を含めたソボレフ空間で考察した．方程式が可積分系の対称構造を持つ場合や，散乱状態が期待される場合には，これら定性的な性質から高階ソボレフ空間における解の一様評価を与えることができることが多い．高階ソボレフ空間における解の考察は，波動エネルギーレベルが低周波から高周波へ移行を明示することと絡み，特に方程式を全空間で考える場合は非常に多くの研究がある．無限円柱領域については，Deng-Yangらによる先行結果があったが，本研究では既存する多項式時間評価式の精度を上げることに成功した．これは，波数空間において角度成分分解を施し，双線形評価式により平滑効果を解析したことによる．
Zakharov-Kuznesov方程式に対しては，初期値問題の時間大域適切性を，正則性の低い初期値に対して研究した．エネルギー空間における時間大域適切性については，Molinet-Pilodらの先行結果がある．本研究では，エネルギー空間を定めるソボレフ微分階数が小さい関数空間において時間大域適切性を得た．これは，I-methodによる擬エネルギー量の構成，双線形形式との組み合わせにより，波数間におけるエネルギー転換を大域的に評価したことによる．
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| Research Progress Status |
令和4年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和4年度が最終年度であるため、記入しない。
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