2020 Fiscal Year Annual Research Report
離散幾何的な新概念とグレブナー基底理論の融合による凸多面体論における新手法の開発
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18H01134
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| Research Institution | Kwansei Gakuin University |
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Principal Investigator |
大杉 英史 関西学院大学, 理学部, 教授 (80350289)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
東谷 章弘 大阪大学, 情報科学研究科, 准教授 (60723385)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | グレブナー基底 / 凸多面体 / エルハート多項式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
凸多面体に含まれる格子点の数え上げや三角形分割は離散幾何学に止まらず様々な分野に現れる基本的かつ重要な研究対象である。当該研究の目的は，近年発明された離散幾何における革新的な新手法とグレブナー基底理論の融合・相互作用により，グレブナー基底理論に基づく新手法の開発を進めることである。
今年度の主な研究成果としては，以下の3つがあげられる。
１．大杉，東谷の共同研究により，s-ブロック対角マッチングフィールドのトーリックイデアルについて研究した。s=2の場合に関する Clarke-Mohammadiの結果を一般化し，ある条件をみたす s-ブロック対角マッチングフィールドのトーリックイデアルが，2次式からなるグレブナー基底を持つことを証明した。また，この結果を用いて，グラスマン多様体のトーリック退化の新しい族を生み出すことに成功した。当該結果に関する論文は Journal of Pure and Applied Algebra に掲載されている。
２．大杉，土谷の共同研究により，カクタスグラフのサスペンショングラフに付随するA型対称的辺凸多面体について研究し，そのh*多項式を，マッチング生成多項式を用いて表すことに成功した。また，化学グラフ理論を応用することによって，このような多項式の根がすべて実根であることを証明した。当該結果に関する論文は Combinatorial Theory に掲載されている。
３．大杉，毛利，土谷の共同研究により，日比・土谷・松田予想「qが3以上の場合に，エッジ環が q-linear resolutionを持つことと超曲面であることは同値」を肯定的に解決し，そのような性質を持つグラフを特徴付けることに成功した。当該結果に関する論文は Journal of Algebra に掲載されている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
大杉，東谷の共同研究による，s-ブロック対角マッチングフィールドのトーリックイデアルに関する結果については，グレブナー基底理論を巧みに活用して得ることができた。この研究成果および手法を格子凸多面体の組合せ的変異と呼ばれる操作の研究と組合せることが期待される。
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| Strategy for Future Research Activity |
正規多面体，反射的凸多面体などの重要な性質を持つ整凸多面体について，既存の著名なクラスの解析や，新しい豊富なクラスの発見に努める。これらの研究成果をもとに，理論的な考察に加えて，計算機支援によって豊富なクラスによる実証を遂行し，離散幾何における最新の理論をグレブナー基底を始めとする可換代数的手法と融合し，関連する理論の発展を目指す。
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