2018 Fiscal Year Annual Research Report
Vortex dynamics on surfaces exploring new fluid phenomena brought by geometry
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18H01136
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
坂上 貴之 京都大学, 理学研究科, 教授 (10303603)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
横山 知郎 京都教育大学, 教育学部, 准教授 (30613179)
米田 剛 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (30619086)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 応用数学 / 流体力学 / 力学系 / 流体方程式 / 微分幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究実施計画に基づいて各サブプロジェクト(P1)-(P3)で以下の研究を行った．(P1)：坂上はトーラス面における渦力学の研究を推進した．まず，点渦の新しい定常配置を多数見いだした．この結果は現在論文投稿中である．次に，滑らかな渦度分布を持つ定常解であるStuart渦を考えた．これはLiouville方程式の解として，これまで平面や球面での存在は知られていたが，トーラス面上での構成に成功したのは初めてである．その過程でLiouville方程式に曲面の曲率に対応する補正が必要であることが見いだされ，これは一般のリーマン多様体への拡張を考える上での重要な示唆となった．本成果はProc. Roy. Soc. Aに公表済みである．横山は双曲型の曲面流の定義の条件の一つである非遊走集合の特徴づけを位相幾何学的な観点から明らかにしつつある．米田は非圧縮Euler方程式を使って平面上の大スケール・小スケールの渦の相互作用の考察を進め，修正版のzeroth-lawを達成する渦分布の構成ができた．(P2)：坂上はChris Green博士，榊原航也博士との共同で球面上のharmonic measureの解析的・数値的構成に成功した．本成果は現在学術誌に投稿準備中である．また，Axel教授との連携により，曲面上の偏微分方程式の数値解法であるSurface Finite Element法の研究を進め，計算実施のため数値計算用のパソコンを購入，トーラス面上の反応拡散系方程式へ適用した．その結果，トーラス面特有のスポットパターン形成の新しい知見を得た．(P3)については，関連する研究者との議論を始めている．他，Bartosz Protas教授，Qun Wang博士を招へいし共同研究を開始した．また，台湾と韓国の研究集会において招待講演を，日本数学会年会に参加して研究成果の発表を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
サブプロジェクト(P1)では，点渦定常解の探索は当初の予定通りに進んでいる．それにとどまらず，トーラス面上のStuart渦の定式化とその新しい定常渦分布の構成は世界初の例となっており，当初の予定を超える成果となった．また，この研究を通して一般のリーマン多様体上のStuart渦を得るためのLiouville方程式の定式化や，さらに複雑な渦度分布を持つ曲面上の定常渦分布の構成へと進む可能性が見いだされたことは，想定を超える成果であったと考えている．
サブプロジェクト(P2)では，曲面上のharmonic measureの研究において，球面の上の等角写像理論を用いた解析解の構成や代用電荷法を用いた数値解の構成を当初の予定通りに行うことができた．一方で，その過程でトーラスのような曲率が変化する曲面の上ではこれらの方法を適用することの妥当性をさらに検討すべきであることもわかった．また，Surface Finite Element Method (SFEM) の研究では，トーラス面上の反応拡散系方程式への適用により曲面特有のスポット形成に関する新しい理論的研究テーマを得ることができた．SFEMの流体方程式への適用は来年度以後の研究課題となっているが，ここで得た知見を活かすことができる状況である．また，別の曲面上の流体方程式の数値解法として点渦法による研究の可能性を検討し，文献調査や海外研究者との打ち合わせの結果，その方向性が具体的に見いだされたことも来年度に繋がる成果である．
サブプロジェクト(P3)については，今年度は基礎研究に集中したため関係者との議論や今後の展開に関する調査にとどまっているが，基礎研究の進捗とともにその範囲は広がるものと考えている．
これらの状況を鑑みて全体として見て概ね順調に推移していると判断している．
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| Strategy for Future Research Activity |
(P1)では，得られた成果に基づいて今後は定常点渦解の安定性の問題，さらに新しいStuart渦の構成や安定性を調べるなどの研究を進める予定である．また，渦層や渦斑といった他の定常渦分布の構成にも進む予定である．曲面上の渦力学の分野は世界的にも注目されている分野であり，多くの海外の研究者が参入している．その状況を踏まえて，来年度以後，世界各地で開催される国際研究集会への積極的な参加を通じて，本課題に関連する研究成果の口頭発表，およびそこへ参加する国内外の研究者との共同研究を通じて，研究を加速させたいと考えている．
(P2)では，得られたharmonic measureに関する成果を論文としてまとめ，さらなる展開を目指す．数値解法の研究ではSurface Finite Element法の適用で明らかになった反応拡散系方程式のスポット解の安定性について理論解析を進める．当初の予定にはなかった研究項目であるが，学術上の意義もあり，また今後の流体運動との関連で調べておくべき対象である．今年度はAxel教授との共同研究を開始して，本格的な流体方程式への適用に関する研究が開始できる状況である．点渦法については文献調査が完了しRobert Krasny教授の開発しているPanel法とKernel Free Fast Tree法が有望であることがわかってきたので，それを中心に検討を加える予定である．
(P3)は引き続き関連する研究者との議論を継続するが，(P1)(P2)における基礎的な渦力学に関する理論的・数値的研究の進捗を優先させて研究を推進したいと考えている．
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