2019 Fiscal Year Annual Research Report
Vortex dynamics on surfaces exploring new fluid phenomena brought by geometry
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18H01136
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
坂上 貴之 京都大学, 理学研究科, 教授 (10303603)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
横山 知郎 京都教育大学, 教育学部, 准教授 (30613179)
米田 剛 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (30619086)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 応用数学 / 流体力学 / 力学系 / 流体方程式 / 微分幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究実施計画に基づいてサブプロジェクト(P1)-(P3)で以下の研究を行った．(P1)では様々な点渦定常解の解析的・数値的構成の研究を行った．トーラス面における点渦の定常解についての研究を行い，非対称な定常解を多数見いだした．また，平面における有限長を持つ渦層定常解の研究を行い，その解を解析的にできることを示した．米田は、特に大スケールと小スケールの渦の非線形相互作用と曲面形状との関係解明の研究を進め回転楕円面という幾何学的構造が帯状流（無限次元多様体上の測地線，Euler方程式の定常解に沿うヤコビ場）に対して共役点を生成させやすいメカニズムを有することを示した．横山は，時間平均は存在しない軌道をたくさん持つ例として知られているBowen's eyeという曲面流の軌道の空間平均を考察し，曲面流の軌道の空間平均と時間平均はかなり異なる性質であることを明らかにした．(P2)では，昨年度に引き続き多様体上のHarmonic Measureの数値計算手法の開発を榊原氏，C. Green氏とすすめ，境界条件の正則化をした後に代用電荷法を用いることで解析解がよく近似できることを見いだした．また，Axel Voigt氏と王鵬皓氏との共同研究で多様体上の偏微分方程式の数値解法として非線形シュレーディンガーの数値計算コードを開発した．(P3)については，昨年度開発した数値計算結果を説明するトーラス面上の反応拡散系モデルの漸近解析モデルの構成に成功した．研究成果発表のため，7月には国際応用数学者会議（ICIAM2019）に参加，9月から12月は断続的に英国ニュートン研究所に滞在することで関連する研究者との活発な議論を行い，次年度に向けた共同研究の足がかりを多数構築できた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本研究計画は最終年度に向けて順調に成果が積み上がっている．(P1)については，多様体の渦力学に関する新しい発見が続いた．トーラス面上の点渦定常解の研究では，点渦の強さに対する線形方程式のゼロ空間を求める問題として定式化することで，従来の非線形方程式による定式化では求めることが難しかった定常解を多数見いだした．この結果はPhil. Trans. Roy. Soc.に掲載済みである．また，平面の有限長を持つ渦層定常解をRiemann-Hilbert問題 の逆問題としての特異積分方程式の解と見做すことで，新しいスポーク状の定常解の存在を解析的に示すことにも成功した．この成果はPhysica Dに掲載が決定している． (P2） Harmonic Measureの数値計算手法では，不連続な境界条件を持つラプラス方程式のディレクレ問題を解く必要があるため，単純に行うとギブスの現象などによって解の望ましくない振動が現れてしまうが，本手法では境界をうまく正則化し，その正則化パラメータと近似メッシュの数をうまく調整することで数値解が解析解に指数的に収束することを確かめた．(P3)についてはトーラス上グリーン関数の解析表示を用いることで反応拡散系方程式のスポット方程式を漸近展開に基づいて導出することができたことで理論的な扱いが用意になったことが大きな進展であった．
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| Strategy for Future Research Activity |
来年度は(P1)で得られた知見をさらに発展させて，今年度ニュートン研で知り合ったV. Krishnamurthy氏とともに，トーラス上のLiouville方程式の厳密解の結果を用いて(P3)の超流動状態のモデルとしての量子化渦解の構成を進める．(P2)の代用電荷法の研究ではさらに複雑な境界形状を持つ球面の上のHarmonic Measureの構成にこの方法を応用する予定である．(P2)で開発したトーラス上の反応拡散系方程式を解く数値コードと開発した解析解の比較を通じて，(P3)におけるトーラス上のスポットダイナミクスの理解をさらに進めて点渦モデルとの比較を進める予定である．なお，本年度末に発生した新型コロナウィルス感染症の世界的流行のため，年度末の予定が十分に執行できず繰り越すことになったが，令和2年度に向けてオンラインでの研究活動実施環境の構築のための物品購入を繰越金によって行って，ステイホーム下での国際的なオンライン研究活動が進むようにした．
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