2018 Fiscal Year Annual Research Report
On the creation of chaos in higher dimensions
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18H01138
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| Research Institution | Chubu University |
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Principal Investigator |
荒井 迅 中部大学, 創発学術院, 教授 (80362432)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石井 豊 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20304727)
三波 篤郎 北見工業大学, 工学部, 教授 (30154157)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 力学系 / カオス / 分岐 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，高次元力学系にカオスが発生するメカニズを解明し，カオス理論の応用範囲を飛躍的に拡大することである．カオスがどのような分岐を経て発生するのか，数学的に完全な理論が存在するのは1次元の最も基本的な場合のみであり，高次元でカオスが発生するメカニズム数学的な説明はいまだ得られていない．これがカオス理論の応用を進める上で大きな障害になっており，本研究はこの困難をトポロジーや計算機科学を応用して突破することを目指している．
今年度は，高次元力学系の分岐理論について位相力学系と複素力学系の双方の手法を絡めた研究を進めた．特に複素力学系のモノドロミー表現を詳細に調べることにより，高次元マンデルブロ集合のトポロジーにある種の代数的な制約があるという結果を得ることができた．
また，位相的な条件と複素力学系の剛性を組み合わせた複素力学系の研究手法を開発した．これにより，複素力学系のダイナミクスの組み合わせ的な表現をより精密に検証することが可能になり，その応用としてエノン写像の分岐曲線に関する予想を証明することに成功した．この結果はエノン写像のカオスが崩壊する瞬間の構造変化を正確に記述するものであり，本研究全体の方向性にとっても重要な結果である．またこの手法を慶應大学の高橋博樹氏による解析的な理論と組み合わせた共同研究により，エノン写像でカオスが壊れる瞬間のエルゴード理論的な記述に関する新しい成果も得られた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
これまでのところ本研究の方向性に沿った応用結果が順調に得られている．モノドロミー理論や結び目の応用といった位相幾何学的な手法の側面では大きな進展には至っていないが，困難の原因も明らかになりつつあり，研究全体ではおおむね順調に推移しているといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究により得られた手法をさらに発展させ，より詳細なパラメータ空間の構造の探索や，応用範囲の拡大を進める予定である．応用範囲を高次多項式や高次元力学系へ拡げるためには，より退化した分岐構造や，ブレンダー構造などの位相的に複雑な現象も扱う必要があるため，モノドロミーや結び目理論などのトポロジー的な手法をより強化する予定である．
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