2019 Fiscal Year Annual Research Report
On the creation of chaos in higher dimensions
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18H01138
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| Research Institution | Chubu University |
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Principal Investigator |
荒井 迅 中部大学, 創発学術院, 教授 (80362432)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石井 豊 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20304727)
三波 篤郎 北見工業大学, 工学部, 教授 (30154157)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 力学系 / カオス / 分岐 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，高次元力学系にカオスが発生するメカニズムを解明し，カオス理論の応用範囲を飛躍的に拡大することである．カオスがどのような分岐を経て発生するのか，数学的に完全な理論が存在するのは1次元の最も基本的な場合のみであり，高次元でカオスが発生するメカニズム数学的な説明はいまだ得られていない．これがカオス理論の応用を進める上で大きな障害になっており，本研究はこの困難をトポロジーや計算機科学を応用して突破することを目指している. 今年度は，これまで発展させてきたモノドロミーを用いた解析手法を，力学系の位相幾何学的な不変量の観点から解釈しなおす研究を進めた．具体的にはモノドロミーから誘導される記号力学系の準同型とコンレイ指数の関係や，pruning front 理論のコンレイ指数を用いた見直しを行なった．これにより，複素力学系と実力学系との関係をより精密に表現することができるようになり，またそれを応用して周期倍分岐に関する研究を進展させることもできた．また，位相的な条件と複素力学系の剛性を組み合わせた複素力学系の研究手法について，理論の応用範囲を拡げるためにアルゴリズム的な観点からの改良を進めた．これにより，以前得られたエノン写像のカオスが崩壊する瞬間の構造変化に関する手法を発展させ，より崩壊が進んだカオスを持つパラメータや，また1次元からの摂動論を用いることが出来ない連結なジュリア集合を持つパラメータなど，これまでは扱うのが難しかった複雑な力学系を持つパラメータに対する研究が可能になると期待できる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
これまでのところ本研究の方向性に沿った応用結果が順調に得られている．位相幾何学的不変量，モノドロミー理論や結び目の応用といった各種の手法の関連が少しづつ明らかになり，新しい手法の開発に向けて進展しているといえる.
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究により得られた手法をさらに発展させ，より詳細なパラメータ空間の構造の探索や，応用範囲の拡大を進める予定である．理論の適用範囲を拡げるためには，モノドロミーや結び目理論などのトポロジー的な手法をより強化することと平行して，計算に用いるデータ構造のアルゴリズム的な観点からの見直しも必要であり，こちらも平行して進める．
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