2020 Fiscal Year Annual Research Report
On the creation of chaos in higher dimensions
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18H01138
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| Research Institution | Chubu University |
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Principal Investigator |
荒井 迅 中部大学, 創発学術院, 教授 (80362432)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石井 豊 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20304727)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 力学系 / カオス / 分岐 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，高次元力学系にカオスが発生するメカニズムを解明し，カオス理論の応用範囲を飛躍的に拡大することである．カオスがどのような分岐を経て発生するのか，数学的に完全な理論が存在するのは1次元の最も基本的な場合のみであり，高次元でカオスが発生するメカニズム数学的な説明はいまだ得られていない．これがカオス理論の応用を進める上で大きな障害になっており，本研究はこの困難をトポロジーや計算機科学を応用して突破することを目指している. 今年度は，これまで発展させてきたモノドロミーを用いた解析手法に加えて，分岐曲線直上でのダイナミクスについての解析を進めた．具体的には，ホモクリニック分岐に対するモジュライの計算をエノン写像の場合に適用し，馬蹄形写像が崩壊する瞬間のダイナミクスがパラメータに関するある種の単調性を満たすという，全く新しい結果を得た．また，位相的な条件と複素力学系の剛性を組み合わせた複素力学系の研究についても進展があった．技術的な面では，精度保証付き数値計算やグラフ理論的アルゴリズムの高速化・効率化を進め，これにより，以前の研究で得られたエノン写像の分岐に関する研究手法を，より計算が困難なパラメータ領域にも適用することができるように改良することができた．これを適用した結果，より崩壊が進んだカオスを持つパラメータや，また1次元からの摂動論を用いることが出来ない，本質的に新しい構造の連結なジュリア集合を持つパラメータにおいてエノン写像の構造を明らかにすることに成功した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
これまでのところ本研究の方向性に沿った応用結果が順調に得られている．位相幾何学的不変量，モノドロミー理論や結び目の応用といった各種の手法に加えて，ホモクリニック分岐のモジュライという新しい道具を導入し，またそれらの関連が少しづつ明らかになったことにより，新しい理論の開発に向けておおむね順調に進展しているといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究により得られた手法をさらに発展させ，より詳細なパラメータ空間の構造の探索や，応用範囲の拡大を進める予定である．特に，1次元からの摂動論を用いることが出来ない連結なジュリア集合の存在領域について，その位相的な構造を明らかにすることが重要であり，そのための手法の開発を集中的に進める予定である．
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Research Products
(5 results)
