2022 Fiscal Year Annual Research Report
On the creation of chaos in higher dimensions
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18H01138
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
荒井 迅 東京工業大学, 情報理工学院, 教授 (80362432)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石井 豊 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20304727)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 力学系 / カオス / 分岐 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，高次元力学系にカオスが発生するメカニズムを解明し，カオス理論の応用範囲を飛躍的に拡大することである．カオスがどのような分岐を経て発生するのか，数学的に完全な理論が存在するのは1次元の最も基本的な場合のみであり，高次元でカオスが発生するメカニズム数学的な説明はいまだ得られていない．これがカオス理論の応用を進める上で大きな障害になっており，本研究はこの困難をトポロジーや計算機科学を応用して突破することを目指している．今年度は昨年度に引き続き，これまでの研究で得られた，1次元からの摂動論を用いることが出来ない本質的に新しい構造の連結なジュリア集合を持つパラメータを中心に，エノン写像のパラメータ空間の構造を解明するための研究を進めた．これは，ジュリア集合が非連結となるようなパラメータ集合を連結となるパラメータ集合がパラメータ空間のなかで位相的にどのように配位しているかを明らかにしようというもので，1次元を越えた高次元複素力学系を研究する上で基本的な問題である．この目標のためには，パラメータ空間の構造を効率的に探索する数値計算手法を開発し，さらに不動点の不安定多様体の精度保証付き数値計算や，グリーン関数を評価してその特異点の存在を数学的に厳密に証明するためのアルゴリズムなど，計算機援用証明の技法を開発する必要がある．今年度は，パラメータ空間内で高次元マンデルブロ集合の構造を抽出する曲線を自動的に構成するアルゴリズムの開発を主に進めた．これは，昨年度までに相空間上で行なった，グリーン関数の等高線や勾配流線を構成する方法をパラメータ空間に応用するものであるが，相空間の場合と異なり，多数のサドル臨界点を追跡する必要があるため，それに応じた最適化の手法を開発した．
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| Research Progress Status |
令和4年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和4年度が最終年度であるため、記入しない。
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[Journal Article] Henon maps: a list of open problems2024
Author(s)
Pierre Berger, Eric Bedford, Fabrizio Bianchi, Xavier Buff, Sylvain Crovisier, Tien-Cuong Dinh, Romain Dujardin, Charles Favre, Tanya Firsova, Patrick Ingram, Yutaka Ishii, Liviana Palmisano, Enrique Pujals, Jasmin Raissy, Sonja Stimac, Gabriel Vigny
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Journal Title
Arnold Mathematical Journal
Volume: -
Pages: -
Peer Reviewed / Int'l Joint Research
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