2020 Fiscal Year Annual Research Report
Nonperturbative formulation of quantum field theories based on resurgence theory
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18H01217
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
坂井 典佑 慶應義塾大学, 自然科学研究教育センター(日吉), 訪問教授 (80108448)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
新田 宗土 慶應義塾大学, 商学部(日吉), 教授 (60433736)
藤森 俊明 慶應義塾大学, 商学部(日吉), 助教 (60773398)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | リサージェンス / 非摂動効果 / 摂動論 / 場の量子論 / ソリトン / バイオン / ストークス現象 / スキルミオン |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では摂動級数と非摂動効果とを関係づけるリサージェンス理論に基づいて、経路積分の積分領域を複素空間に拡張し、量子非摂動現象の新たな解析法(拡張型リサージェンス理論)を確立し、さらに様々な物理現象に適用して場の量子論の新たな非摂動的定式化を目指す。本年度は，(1)コンパクト化時空上のZNツイストした2次元CPN模型を格子上に離散化して、モンテカルロシミュレーションを行うことによって非摂動効果を研究し、リサージェンス現象を非摂動的に研究する、(2)exact WKB法を用いて、強電場による荷電粒子対生成現象を解析する、さらにexact WKB法を用いて、量子力学系のリサージェンス現象を理解する、(3)非摂動効果におけるアノマリーの重要性を検討する、(4)1+1次元CP1模型にDzyaloshinskii-Moriya (DM)相互作用が加わったカイラル磁性体でのスキルミオン相互作用を解析してスパイラル状態などの非一様真空を理解する、という4つの方向から研究を進めた．
(1)ツイスト境界条件を課した1+1次元CPN模型では、バイオンの非摂動効果を検証し、ZN境界条件によりR2上での真空構造とRxS1上での真空構造がスムーズにつながること(断熱的連続性)の証拠を得た。
(2)exact WKB法によって、時間変化する電場による荷電粒子対生成の一般公式を得た。量子力学系でのリサージェンス現象をexact WKB法によって一般的に扱うことが可能になった。
(3)アクシオン電磁気学などにおいて、高いフォームのアノマリーが重要な役割を果たすことを示した。
(4)1+1次元では、CP1模型にDM相互作用が加わったカイラル磁性体のスキルミオン厳密解の間の相互作用を求め、スキルミオン格子相が生じることを明らかにした。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究計画策定時に想定していた場の量子論に対するリサージェンス理論の応用は期待通り進展している。1+1次元のCPNシグマ模型では繰り込みの効果も含めて、当初期待していた通り、非摂動効果と摂動級数の発散との間の関係を示すことができた。
2方向を非対称にコンパクト化した2次元CPN模型を格子上に定式化し，小さな半径の方向にZNツイスト境界条件を課して、モンテカルロシミュレーションを行い、R2時空との連続性と矛盾のない結果を得た。大域的なZN対称性のオーダーパラメターを工夫して、ZN対称性が破れていないことも確認した。これによってバイオンの非摂動効果だけでなく、真空構造がRの小さな領域と大きな領域でつながっていることが分かり、この現象(volume independence)の普遍性を確認できた。今後はこうした格子計算だけでなく、解析的な方法も用いて、摂動領域から非摂動領域へのつながりをさらに考察する。
バイオンを用いた解析だけでなく、exact WKB法という数学的手法を用いることで、量子力学ではリサージェンスの普遍性を確立することができた。一方、場の量子論においても、exact WKB法は有用で、強電場による荷電粒子生成の一般公式を求めることができた。
CP1模型にDM相互作用を取り入れることで、非一様な真空状態が実現する可能性があり、一般にスキルミオンがソリトンとして生じる。ポテンシャルの強さが特定の値をとる場合には、スキルミオンの厳密解が得られている。このスキルミオン厳密解が二つ共存する場合に、それらの間の相互作用を近似的に求めることができる。その結果、DM相互作用が強い領域ではスキルミオン格子状態が基底状態となることを確認できた。
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| Strategy for Future Research Activity |
非線形シュレーディンガー方程式は様々な物性現象に現れる。この量子力学系についてリサージェンス理論を適用して、経路積分の鞍点がどのように寄与するかを明らかにする。さらに、1+1次元非線形シュレーディンガー方程式の場の理論について、新たなソリトンを構成し、経路積分におけるその古典解の寄与を明確にすることを試みる。
1+1次元CPN模型だけでなく、1+1次元O(N)模型などの場の量子論を取り上げ、リノマロン現象についても理解を深めたい。1+3次元漸近的自由場の理論では通常はファインマン図形を用いた摂動論でしか計算できないので、非摂動効果の解析は難しいが、1+1次元にすることによって、1+3次元では困難であった様々な計算をより精密に遂行することが可能となる。特に、ラージN近似の方法を助けとすることで、詳しい解析ができると期待される。
ラージN近似は非摂動的な結果を与えることが知られている。非可換ゲージ理論はラージNの極限では、twisted江口川合模型となり、もっとも簡明な形に定式化されている。このtwisted江口川合模型について、厳密な古典解を求め、リフシッツ・シンブル理論を用いてこれらの新しい古典解が経路積分の鞍点としてどのような寄与を与えるかを理解することを試みる。
空間2次元のカイラル磁性体の厳密解として、スパイラル状態やスキルミオン格子状態がある。これらの状態を理解することを目指したい。
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