2019 Fiscal Year Annual Research Report
Challenge to Intractable Semidefinite and Second-order Cone Programs
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18H03206
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| Research Institution | National Graduate Institute for Policy Studies |
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Principal Investigator |
土谷 隆 政策研究大学院大学, 政策研究科, 教授 (00188575)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
北原 知就 九州大学, 経済学研究院, 准教授 (10551260)
上野 玄太 統計数理研究所, モデリング研究系, 教授 (40370093)
中田 真秀 国立研究開発法人理化学研究所, 情報システム本部, 技師 (50469912)
ロウレンソ ブルノ・フィゲラ 東京大学, 大学院情報理工学系研究科, 助教 (80778720)
小原 敦美 福井大学, 学術研究院工学系部門, 教授 (90221168)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 半正定値計画問題 / 非正則問題 / 悪条件問題 / 双対定理 / 密度推定法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
主問題と双対問題に内点が存在する半正定値計画問題を正則な半正定値計画問題と呼ぶ．正則な半正定値計画問題に対して，最適解を与えるオラクルを内点オラクルと呼ぶ．本年度は，内点オラクルを用いて，任意の半正定値計画問題を解く手法を改良した．
さらに，昨年度開発した，非正則な半正定値計画問題を正則化した時の双対ギャップ漸近的振る舞い，双対定理の拡張を用いて，標準的な多項式非実行可能点列内点法である，Zhang のアルゴリズムとPotra and Sheng によるアルゴリズムを任意の半正定値計画問題に適用した時に，以下のような性質の「意味のある」点列を生成することを確認した．すなわち，
1. 主問題も双対問題も漸近的実行可能である場合には，多項式時間非実行可能点列内点法は，常に漸近的実行可能点列を生成し，その時に双対ギャップはゼロに漸近する．そして，さらに，主問題と双対問題の最適解の間の点に収束する点列を生成する．
2. １でない場合には，多項式時間非実行可能点列内点法は，双対ギャップがゼロには漸近しない点列を生成する．
このように，半正定値計画問題に対する主要なアルゴリズムである，多項式時間非実行可能点列内点法が任意の半正定値計画問題に適用した時に意味のある点列を生成する，ということは興味深い．
また，半正定値計画法を使って1次元の密度推定を行うためのアルゴリズムのＲでの実装を進めた．これは，データサイエンスへの半正定値計画問題のよい応用として有望なものと考えて，公開を目指してテストを進めている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
半正定値計画問題に対する主要な解法である非実行可能主双対内点法について，従来は，主問題と双対問題が共に内点実行可能解を持つ場合のみに収束性の解析が行われており，それ以外の場合の振舞いは長いこと不明であったが，任意の問題に適用した場合に目的関数値が意味のある値に収束することを示すことができたため．
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| Strategy for Future Research Activity |
非実行可能点列半正定値計画問題の収束性の強力な新しい結果を実用に生かすことを目指して数値実験を進めていく．さらに，半正定値計画問題と2 次錐計画問題に対する「正射影スケーリング法」の開発，自動微分によるvon Neumann エントロピー最適化問題の多項式時間解法の実用化, 情報幾何による半正定値計画問題に対する一次法の開発と大規模共分散推定への活用 についても研究を推進する．
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