2020 Fiscal Year Annual Research Report
Study of arithmetic gometry by p-adic methods
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18H03667
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
都築 暢夫 東北大学, 理学研究科, 教授 (10253048)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
志甫 淳 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (30292204)
阿部 知行 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 准教授 (70609289)
中島 幸喜 東京電機大学, 工学部, 教授 (80287440)
山内 卓也 東北大学, 理学研究科, 准教授 (90432707)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 過収束F-アイソクリスタル / スロープ / 最小スロープ予想 / Dwork族Calabi-Yau多様体 / mod 2ガロア表現の決定 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
K.S.Kedlayaは代数多様体のスロープフィルトレーションを持つ既約過収束F-アイソクリスタルは、スロープが最小の部分収束F-アイソクリスタルにより決まると予想し、19年度の研究で、研究代表者の都築は有限体上の滑らかな代数多様体の場合にそれを肯定的に解決した。今年度の研究で、最小スロープ予想の応用として、指数が1/2, 1/2, 1/2; 1, 1型の一般超幾何モチーフの対称構造について結果を得た。
3次元Dwork族のミラー対称族のmod 2-Galois表現の決定とその保型性に関して、研究分担者の山内と共同研究を行なった。ψをパラメータとする1次元族である3次元Dwork族Calabi-Yau多様体のミラー対称族に関し、ψを代数的数とするとき3次元エタール・コホモロジーのmod 2-Galois表現ρは4次表現であり、5次多項式4x^5-5ψx^4+1がQ(ψ)上既約のときρの像がこの多項式の分解体のGalois群と一致することを示した。さらに、ρがある正則Hilbert-Siegel形式に付随するmod 2-Galois表現となることを証明した。成果をまとめた論文は現在投稿中である。
コロナ禍のため当初予定していた海外での講演は延期となった。2020年12月にオンラインで実施された研究集会「代数的整数論とその周辺」において、最小スロープ予想に関する成果発表を行い、参加者と今後の展開に関して有意義な議論ができた。
本科研費の支援で2020年9月に「第19回仙台広島整数論集会」を開催した。若手整数論・数論幾何学研究者の登竜門的な研究集会で、非常に活発に研究発表があった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
最小スロープ予想は、標数p>0の代数多様体上のp進局所である過収束F-アイソクリスタルは最小スロープ部分で決定されるというものである。２次超幾何モチーフについて、ordinary locusにおけるp進表現を比較することで、その対称構造に関する結果を得流ことができ、研究代表者が解決した最小スロープ予想の応用に関して知見を得た。また、2020年12月に開催された研究集会「代数的整数論との周辺」で研究発表し、参加者と議論する機会を得た。F-アイソクリスタルとその周辺の今後の発展が期待される。
研究分担者の山内卓也氏との研究で、Dwork族と呼ばれる3次元Calabi-Yau多様体の中間次元エタールコホモロジーのmod 2表現が、Dwork族に対応するある5次多項式族で決定されることを発見した。Chebotarevの定理と群論的な制限により決定できるレシピは、高次表現の場合に一般化できる可能性がある。これまでの知見を組織的に組み合わせて更なる展開が期待できる。
2020年度は新型コロナウイルス感染症のため開催を検討していた研究集会で断念したものもあるが、2002年度から継続している「第19回仙台広島整数論集会」をオンラインで開催した。講演希望者が非常に多く、若手研究者の活発な講演と議論があり、整数論・数論幾何学の研究のトレンドに関する情報を得ることができた。
F-アイソクリスタルの研究において非常に重要な問題の研究を進展させ、その内容を講演したことと、mod 2ガロア表現の決定問題に新たな方向性を見出すことができたので、「(1) 当初の計画以上に進展している。」と評価する。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究課題では、Newton多角形の変動をキーワードとした正標数代数多様体上のF-アイソクリスタルの圏と代数多様体の幾何学的または数論的な性質の関係を明らかにすることを一つの目標としている。これまでの研究で、標数0の代数曲線の双曲性の概念とNewton多角形が変動するF-アイソクリスタルの存在の不思議な類似性があることがわかっており、その本質的な理由を解明することを目指している。
研究代表者が解決した最小スロープ予想では、Newton多角形が変動がF-アイソクリスタルを決定するために非常に重要な意味を持つので、一般の代数多様体上のF-アイソクリスタルの圏について考察し、Newton多角形が変動するF-アイソクリスタルの性質の考察を行う。具体的には、スロープがジャンプする点におけるF-アイソクリスタルの最小スロープ部分から決まるp進表現のモノドロミーに関して研究を進める。このような表現のモノドロミーが無限になる現象について、大域的な性質と局所的な性質の両面からの考察を行う。
素数pに対して、代数体のガロア群のmod p表現は殆ど全ての素点での還元した多様体の性質を反映している。本研究では、これまでの研究で得られた知見、特に4次mod 2表現についての手法を発展させ、高次表現の決定や保型性の研究を研究分担者の山内卓也氏らと共同で推進する。p進的手法だけでなく、代数幾何学、群論、表現論など様々分野にまたがるため、関連する研究を行う研究者とコミニュケーションを取りながら研究を進める。
これらの研究を通して、数論幾何学の研究を発展させる。
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