2020 Fiscal Year Annual Research Report
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18H03669
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
小林 俊行 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (80201490)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 解析学 / 幾何学 / リー群 / 分岐則 / 不連続群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者が主導している「無限次元表現の対称性破れ作用素の解析」「不定値計量の局所等質空間のスぺクトル解析」「緩増加等質空間の大域幾何」の３つのテーマについて、本年度の主要な結果の概要を述べる。
(１) （緩増加等質空間）群作用をもつ多様体に対し、その half density bundleの二乗可積分函数のなすヒルベルト空間に自然なユニタリ表現が定義される。「そのユニタリ表現が緩増加になるための幾何的な判定条件か」という基本問題に研究代表者は海外の共同研究者と取り組み、力学系の手法を用いて判定条件を開発し、その現状報告を第１論文、第３論文、第５論文で著した。
(２）（不定値計量をもつ局所対称空間のスペクトル解析）局所リーマン対称空間のスペクトル解析は保形型式の整数論とも密接に関連し長年に亘って多くの重要な研究がなされているが、不定値計量をもつ局所対称空間のスペクトル解析はラプラシアンが楕円型でないことを含め種々の困難が知られている。この大域解析の問題に対して、研究代表者が開拓してきた離散的無限次元表現の分岐則の理論を「新しい道具」として用いるための幾何的な基盤づくりを行った（第２論文）。
(３） (無限次元表現の分岐則）無限素点に関するGross-Prasad予想は簡約リー群の組（O(p,q), O(p-1,q))に関する緩増加既約ユニタリ表現の分岐則を明示的に表そうとするものであるが、より一般に緩増加表現ではないある系列の既約ユニタリ表現の分岐則の研究に取り組んだ（第４論文）。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
コロナ禍で当初の計画の実行にいろいろな困難はあったが、オンラインでの会合を中心にし、予定していた諸課題についてある程度の成果があげられた。今後、これらを基礎にして、大いに発展させられそうである。
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| Strategy for Future Research Activity |
コロナ禍が終息するにつれて、対面での国際会議、対面での会合を積極的に企画し、最先端の研究を意識しつつ、重要な課題を選別し研究を推進する。特に当該研究代表者が主導している
（１）Symmetry Breaking Operatorsの解析
（２）非リーマン局所対称空間上のスペクトル解析
（３）緩増加等質空間の基礎解析
のプロジェクトを重点的にフランスおよびアメリカの共同研究者等と協力して研究活動を展開したい。（３）の基盤研究では、解析的な条件である緩増加性を幾何・代数的な特徴づけに焦点を当てて研究を進める。
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