2021 Fiscal Year Annual Research Report
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18H03669
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
小林 俊行 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (80201490)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 解析学 / 幾何学 / リー群 / 分岐則 / 不連続群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該研究代表者が主導している「分岐則の理論」「緩増加等質空間の理論」のプロジェクトを海外の共同研究者等と協力して研究を進めた。以下で本年度の主要な結果を述べる。
(1)（離散的分岐則の理論） 無限次元の既約ユニタリ表現を非コンパクトな簡約部分群に制限するとその分解には連続スペクトラムが現れる場合もあり、また離散的になる場合もある。離散的になるためには、admissible restrictionという概念が鍵となるが、それを判定するという重要な問いに関して、超局所解析の手法で証明した研究代表者の主定理（Annals of Mathematics 1998)の逆が成り立つことを、シンプレクティック幾何の手法を用いて証明した（単著 第１論文)。
(2) (ホログラフィック作用素の構成）研究代表者が導入した「対称性破れ作用素」の随伴作用素として、海外の共同研究者と協力して「ホログラフィック作用素」の概念を導入し、いくつかの基礎的なケースでホログラフィック作用素を明示的に構成し、元の関数の復元公式を証明した（第５論文）。
(3)(緩増加等質空間の分類理論）二乗可積分函数全体のなすヒルベルト空間上に定義されたユニタリ表現が緩増加となる等質空間G/Hを緩増加等質空間という。GとHが簡約リー群の場合、緩増加等質空間G/Hを分類した。その手法は、研究代表者と海外の共同研究者が開発した緩増加性の判定条件を代数的に分析して線型化を行い、次に半単純リー環の有限次元表現に関連する種々の不等式を証明し、さらに凸多面体の組合せ論を用いるというものである。分類を完成し長編の論文を出版した（第３論文）。
(4)その他、保形型式の整数論への応用を意識した分岐則の例（第２論文）や小さい無限次元表現の分岐則における重複度に関する研究を推し進めた（第４論文）。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
いろいろな困難はあったが、対面での国際会議や共同研究も少しずつ再開し、予定していた諸課題についてある程度の成果があげられた。今後、これらを基礎に大きく発展させられそうである
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| Strategy for Future Research Activity |
対面での国際会議、対面での会合を積極的に企画し最先端の研究を意識しつつ、適切な課題を選別し、当該研究代表者が主導している
（１）Symmetry Breaking Operatorsの解析
（２）非リーマン局所対称空間上のスペクトル解析
のプロジェクトをフランス、アメリカの研究者等と協力してさらに活発な研究活動を展開したい。特に（１）として、「対称性破れ作用素」を統合的に扱う generating operatorsの概念を導入し、その基盤に関する国際共同研究を行う。（２）の基盤作りとして、非対称な擬リーマン等質空間までを視野に入れた不連続群の作用と軌道の数え上げ問題に焦点を当てて研究を進める。国際連携を保持・強化し、先端研究の情報交換を行い、新しい研究活動が遭遇することによってさらに飛躍が生まれる可能性が見込める場を積極的に作る。
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