2020 Fiscal Year Annual Research Report
Multifaceted studies on dynamical problems in the calculus of variations using geometric measure theory
| Project/Area Number |
18H03670
|
|---|
| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
|---|
Principal Investigator |
利根川 吉廣 東京工業大学, 理学院, 教授 (80296748)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
高坂 良史 神戸大学, 海事科学研究科, 教授 (00360967)
石井 克幸 神戸大学, 海事科学研究科, 教授 (40232227)
三浦 達哉 東京工業大学, 理学院, 准教授 (40838744)
高棹 圭介 京都大学, 理学研究科, 特定准教授 (50734472)
可香谷 隆 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 助教 (60814431)
小野寺 有紹 東京工業大学, 理学院, 准教授 (70614999)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
|
| Keywords | Mean curvature flow / Calculus of variations / Geometric measure theory / Minimal surface / Geometric analysis |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
主な研究成果として以下の２つを挙げる．
（１）Salvatore Stuvard（ミラノ大学）と共同で前年度から引き続き研究を行っている余次元１の閉修正可能集合を初期値としたブラッケ流の存在定理について，特にブラッケ流の囲む領域の体積変化について，当初の我々の予想を凌ぐシャープな結果を得ることに成功した．論文はAdvances in Calculus of Variationsに出版受理済である．存在を示したブラッケ流は有界変動関数の枠組みにおける平均曲率流にもなっており，そのためブラッケ流特有の非一意性の問題を解決している．有界変動関数の枠組みの時間大域解の存在定理自体が知られていなかった中，この存在定理は一般化された平均曲率流に対して新しい概念を発見した，とも言える結果である．
（２）曲面のブラッケの意味での法線方向速度が，平均曲率と外力項の和で表せる問題を考える．葛西－利根川(2014)による正則性定理により，ほとんどの点において動く曲面はパラボリックの意味で局所的にC^1級グラフになることがわかっていたが，外力項がヘルダー連続ではない場合，界面運動を表す2階放物型方程式の強解になるかどうかは未解決だった．この問題に対し，森龍之介（東工大特別研究員）と富松瑛太（D２）と共同で，もしグラフの時間微分がラドン測度であれば，グラフは期待される２階偏微分方程式の強解になっていることが解明された．興味深いことに，Allen-Cahn方程式から得られる解はこの条件を満たしている．これはブラッケの意味での界面速度の繊細な性質を表すものであり，未知であった現象である．論文はIndiana University Math Journalに出版受理済みである．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
平均曲率流の弱解の概念は２相の場合については等高面法がひとつのスタンダードな概念となっている一方で，特異点があると肥満化が起こる，また多相平均曲率流の問題が扱えない等の問題があった．（１）で得られたブラッケ流は同時に有界変動関数の枠組みでの解であり，ある程度の一意性も保証された今まで得られた弱解の中で特筆すべき良い性質を持つものである．今後の平均曲率流の解析において基礎的な結果となることが期待される．これは当初の研究計画にはなかったものの，研究成果としては画期的なものであり，計画以上の進展を表すものである．
|
| Strategy for Future Research Activity |
１次元の場合，（１）で示された解はほとんど全ての点において滑らかになっていることが期待される．これについてはこの課題の当初から取り組んでいたが，最近，この問題の解決にはパラボリックの問題に特有な最終時間までの正則性理論の確立が必要であることがわかってきた．ブラッケの正則性理論は時空間の内部における正則性を示したものであり，パラボリック的な観点からは不満足なものとなっている．この点の解明について今後集中的に取り組む予定である．
|
