2018 Fiscal Year Annual Research Report
Studies on large scale interacting systems and related stochastic partial differential equations
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18H03672
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
舟木 直久 早稲田大学, 理工学術院, 特任教授 (60112174)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
佐々田 槙子 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (00609042)
長田 博文 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20177207)
福島 竜輝 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (60527886)
笹本 智弘 東京工業大学, 理学院, 教授 (70332640)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 確率論 / 解析学 / 統計力学 / 数理物理 / 関数方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
大規模相互作用系とは、もともと統計物理学の研究において用いられる各種の数理モデルの総称であり、莫大な自由度を持つ系である。以下、本年度の研究実績からいくつか具体的に述べる。本研究は、研究代表者と研究分担者らの緊密な協力の下に進められたが、研究実績は各テーマを主導した研究者ごとに述べる。
研究代表者の舟木は、ミクロレベルの各種の大規模相互作用粒子系からマクロレベルの相分離超曲面に対する平均曲率運動やStefan自由境界問題の導出を行った。さらに、複数の保存量を持つ系についてBoltzmann-Gibbs原理に基づく揺動の解析を行い、発散項を含む特異な確率偏微分方程式である多成分KPZ(Kardar-Parisi-Zhang)方程式を導くことに成功した。分担者の長田は、無限粒子系に関係する均質化問題の相転移現象について研究した。分担者の笹本は、1次元KPZ普遍性の理解を深める研究を進めた。KPZ普遍クラスに属する多くのモデルを内包する確率的6頂点模型と呼ばれるモデルに対し、その定常的な状況において揺らぎが長時間の極限でBaik-Rains分布と呼ばれる分布に収束することを証明した。また1次元XXスピン鎖と呼ばれる量子スピン系のカレント揺らぎとランダム行列との関連を考察した。分担者の福島は、Anderson模型に関する中心極限定理の研究、ランダム媒質中のランダムウォークの大偏差原理の研究、空間非一様なポテンシャルから定まる加法汎関数の末尾評価の研究を行った。分担者の佐々田は、箱玉系と呼ばれる離散可積分系の確率解析的なアプローチによる研究を行った。特に確率解析でよく知られているPitman変換との関係を明らかにし、有限系に対する既存の結果の無限系への系統的な拡張を行った。また、離散KdV方程式、超離散戸田格子、離散戸田格子についても同様の手法が使えることを明らかにした。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成30年度の交付申請書で主な研究目標として掲げたのは次の4点である。(1) 複数個の保存量を持つ大規模相互作用系からの多成分 KPZ 方程式の導出、(2) 多成分 KPZ 方程式の非線形項を決定するカップリング定数がいわゆる三重線形性とよばれる対称性の条件を満たさない場合における平衡測度の解析、(3) 2成分大規模相互作用系からの自由境界問題を内包する非線形偏微分方程式の導出、(4) 相対エントロピー法の精緻化による大規模相互作用系からの平均曲率運動の直接的な導出
このうち (1), (3), (4) の目標は達成された。(3), (4) は雑誌論文として既に出版され、(1) の論文も雑誌に投稿済みで現在査読中である。一方、(2) は特異性を持つ確率偏微分方程式を対象とした難解な問題であり、まずは類似の離散系について研究を進めたが現在のところ十分満足できる結果には至っていない。
その他には、ランダム行列に関わる大規模相互作用系の研究、ランダム場およびランダムな係数を持つ偏微分方程式の研究は順調に進んでいる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究の進め方、研究目標について、いくつか具体的に述べる。まずは、大規模相互作用系から直接的に平均曲率運動の導出を行う研究を継続し一般化する。特に、この解析の途中で経由するマクロレベルの偏微分方程式の観点からは、非線形な拡散項を持つ場合に拡張することを目指す。これは非線形偏微分方程式の立場からも新規の問題である。さらに、ランダム行列の研究と関連して、平面上の無限粒子系であるガウス整関数の零点の確率力学について調べる。KPZ普遍クラスに属するモデルについては、行列式構造の観点からの研究を継続し発展させる。ランダム媒質中の向きづけられた高分子模型の零温度極限やその自由エネルギーの研究を進める。時間発展が決定論的な離散可積分系については、大規模相互作用系の観点から不変測度やエルゴード性の研究を行う。
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