2019 Fiscal Year Annual Research Report
Studies on large scale interacting systems and related stochastic partial differential equations
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18H03672
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
舟木 直久 早稲田大学, 理工学術院, 特任教授 (60112174)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
佐々田 槙子 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (00609042)
長田 博文 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20177207)
福島 竜輝 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (60527886)
笹本 智弘 東京工業大学, 理学院, 教授 (70332640)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 確率論 / 解析学 / 統計力学 / 数理物理 / 関数方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
大規模相互作用系とは、もともと統計物理学の研究において用いられる各種の数理モデルの総称であり、莫大な自由度を持つ系である。以下、本年度の研究実績からいくつか具体的に述べる。本研究は、研究代表者と研究分担者らの緊密な協力の下に進められたが、研究実績は各テーマを主導した研究者ごとに述べる。
研究代表者の舟木は、昨年度の研究をさらに発展させ、Glauber-零レンジ過程から平均曲率運動の導出を行った。特に、非線形な拡散項を経由するため偏微分方程式論の観点からも新規の結果である。分担者の長田は、平面上の無限粒子系であるガウス整関数の零点について、対応する確率力学が確率微分方程式によってどのように表現されるかを調べた。また空間の剛性の確率力学への影響を調べた。
KPZ普遍クラスに属するモデルの研究においては、ある確率変数の母関数が行列式で表されることが重要な役割を果たしている。分担者の笹本は、この行列式構造の出現のメカニズムをより直接的に理解する研究を進めた。また、多成分排他過程のカレント揺らぎに関する漸近解析について論文執筆を進めた。分担者の福島は、Junk氏と共同でランダム媒質中の向きづけられた高分子模型の零温度極限の研究を行い、自由エネルギーの連続性を示した。分担者の佐々田は、様々に拡張された箱玉系や離散KdV格子などの離散可積分系に対する不変分布の具体例を明らかにした。また、異なるモデル間での不変分布の関係、および連続なパスに対するPitman変換の不変分布との対応も見いだした。さらに、これらの分布の下での、各モデルの時間発展のエルゴード性についての解析を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
令和元年度の交付申請書で主な研究目標として掲げたのは次の4点である。(1) 昨年度実施した2成分大規模相互作用系からの自由境界問題の導出について、より一般の系への拡張を行う。(2) 3次元ヤング図形あるいはそれと同等な2次元ダイマー模型の時間発展モデルについて、大偏差原理の解析を行う。(3) 粒子の生成・消滅を伴う零レンジ過程から、流体力学極限および均質化を経て一般化された平均曲率運動を導出する。(4) 保存則を持つ確率的アレン・カーン方程式に対する鋭敏界面極限の解析を行う。
このうち(3)の目標は達成された。(2)についても着実に研究を進めた。(1), (4) は研究代表者の示唆のもと、連携する研究者たちにより研究は進められた。(4)に関連して、確率的カーン・ヒリヤード方程式についての研究も進められた。さらに目標には掲げていなかったが、ランダム環境内の相互作用粒子系の極限として得られる放物型非線形確率偏微分方程式に関する研究を開始した。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記「8. 現在までの進捗状況」でも述べたが、ランダム環境内の相互作用粒子系の極限として得られる放物型非線形確率偏微分方程式について、パラコントロール解析に基づく研究を系統立って行い、この種の特異な確率偏微分方程式についてはほとんど知られていない時間大域解の存在および定常解への収束などを調べる予定である。
さらに、KPZ系における行列式構造の理解の深化、多成分系の解析、高分子模型の自由エネルギーの研究などを進める。
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