2020 Fiscal Year Annual Research Report
Studies on large scale interacting systems and related stochastic partial differential equations
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18H03672
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
舟木 直久 早稲田大学, 理工学術院, 特任教授 (60112174)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
佐々田 槙子 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (00609042)
長田 博文 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20177207)
福島 竜輝 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (60527886)
笹本 智弘 東京工業大学, 理学院, 教授 (70332640)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 確率論 / 解析学 / 統計力学 / 数理物理 / 関数方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
大規模相互作用系とは、もともと統計物理学の研究において用いられる各種の数理モデルの総称であり、莫大な自由度を持つ系である。以下、本年度の研究実績からいくつか具体的に述べる。本研究は、研究代表者と研究分担者らの緊密な協力の下に進められたが、研究実績は各テーマを主導した研究者ごとに述べる。
研究代表者の舟木は、ランダム環境内の相互作用粒子系の極限として自然に得られる放物型確率偏微分方程式について、パラコントロール解析に基づき、まず一般化した状況の下で、解の定式化を行い、局所解の存在と一意性を示した。また、３次元ヤング図形の時間発展モデルに対する大偏差原理の研究を行った。
分担者の長田は、長年取り組んできた無限次元確率微分方程式の強解の存在と一意性に関する研究を完成し出版した。この結果を応用することにより、ディリクレ形式の一意性を証明した。分担者の笹本は、Arndt-Heinzel-Rittenbergモデルと呼ばれる、２成分排他過程の揺らぎに関する研究を進めた。その結果、ある初期条件の場合に対し、２成分粒子のカレントの原点における結合分布が多重積分で表せることを示し、その漸近解析を行うことに成功した。また、KPZ系を有限温度自由フェルミオンと関係付ける研究を進めた。分担者の福島は、ランダム媒質中のランダムウォークに関して漸近速度や熱核評価、局在する際の極限分布など幅広く研究を行なった。また向きのついた高分子模型の大偏差原理の研究を行なった。分担者の佐々田は、非勾配型モデルに対する流体力学極限を一般的に扱うための枠組みを構築し、特にその証明で鍵となる閉形式の分解定理の新しい定式化を行った。これにより、分解定理における群作用と保存量の役割が、数学的に厳密な形で明らかになった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
令和二年度の交付申請書で主な研究目標として掲げたのは次の３点である。(1)ランダム場中の偏微分方程式に対する極限定理を、近年大きな展開を見せている特異な確率偏微分方程式の理論であるパラコントロール解析を用いて考察する。(2)確率的６頂点模型のKPZ極限についてパラコントロール解析による考察を行い、その一般化を目指す。(3)保存則を持つ確率Allen-Cahn方程式の３つの異なる時間スケールについて調べる。
このうち(1)の目標は達成され、さらに長時間挙動の解析へと発展している。(2)については確率的６頂点模型の拡張として、粒子の生成・消滅を許す確率的８頂点模型の導入へと進展した。(3)は、関連する相互作用粒子系の観点からの研究が進行している。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記「８. 現在までの進捗状況」でも述べたが、確率的６頂点模型の拡張として確率的８頂点模型を新たに導入した。その不変測度、流体力学極限、線形揺動、非線形揺動について調べる予定である。ランダム環境内の相互作用粒子系の極限として得られる放物型非線形確率偏微分方程式については、長時間挙動の解析を進め研究を完成させたいと考えている。
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