2018 Fiscal Year Annual Research Report
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18J00022
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
須山 雄介 大阪大学, 理学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2018-04-25 – 2021-03-31
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| Keywords | トーリック幾何 / 組合せ論 / 有限グラフ / ファノ多様体 / 弱ファノ多様体 / building set |
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| Outline of Annual Research Achievements |
整凸多面体の組合せ論とトーリック幾何学に関して次の結果を得た．
1. 有限単純グラフから，graph cubeahedron とよばれる単純な多面体を構成することができる．今回，graph cubeahedron に伴うトーリック多様体が弱 Fano であることは，もとのグラフの各連結成分が claw-free block graph, すなわちある木の line graph であることと同値であることを示した．
2. 第 2 Chern 指標と任意の曲面との交点数が正であるような Fano 多様体を 2-Fano 多様体とよぶが，トーリック 2-Fano 多様体はこれまでのところ射影空間以外に例が知られていない．本年度は，building set とよばれる，一定の条件を満たす有限集合の部分集合族から得られる非特異射影的トーリック多様体の中では，2-Fano なものは実際に射影空間に限ることを示した．
3. トーリック 2-Fano 多様体の特異版として，トーラス不変因子の 2 乗和と任意の曲面との交点数が正であるという条件を考えることができる．4 以上の各次元に対し，Picard 数 2 で，特異ではあるが Q-分解的でたかだか末端特異点のみをもつ，トーラス不変因子の 2 乗和が正のトーリック Fano 多様体の初めての具体例を構成した．また，Q-分解的でたかだか標準特異点のみをもつ，トーラス不変因子の 2 乗和が正のトーリック Gorenstein Fano 多様体も 3 次元で具体的に構成した（佐藤拓氏との共同研究）．
4. Generalized Bott manifold が Fano または弱 Fano になるための必要十分条件を求めた．系として，通常の Bott manifold が Fano になるための必要十分条件も求めた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初の研究計画のうちの大部分を実際に示すことができた．更に，佐藤拓氏との共同研究により，トーリック 2-Fano 多様体の特異版の具体例という，当初の予定以上の結果も得られた．
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き，トーリック多様体の Chern 指標およびその特異版の研究を深める．Chern 指標が正であることで，トーリック多様体の構造がどのくらい制限されるかを調べる．また，特定の特異点しかもたないトーリック log del Pezzo 曲面の分類についても研究していく．
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